09-平面图形上的最短路径问题.docx

第9讲 平面图形上的最短途径问题一、措施技巧知识点：1.两点之间，线段最短 2.垂线段最短 3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等 4.三角形任意两边之差不不小于第三边总思路：找点有关线的对称点实现“折”转“直”常考类型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短类型一 两点在直线同侧（将军饮马）【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B有关l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB＇．类型二 相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P有关两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q 、P有关直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A有关的对称点A＇，作点B有关的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．类型三 造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左）使并使AM+MN+NB的值小．将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇有关的对称点A＇＇， 连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．类型四 费马点【问题7】“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都不不小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．（二）根据垂线段最短类型五 和最小【问题8】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小．作点P有关的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等类型六 差最小【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．（四）根据三角形任意两边之差不不小于第三边类型七 差最大【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差不不小于第三边．≤AB．的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大．作B有关l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差不不小于第三边.≤AB＇最大值AB＇二、应用举例类型一 两点在直线同侧（将军饮马）【例题1】如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）A．3 B． C． D．6 【答案】B【解析】试题分析：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短，得出BM+MN最小，求出E和B有关AD对称，得到BM+MN’=EN’，求出EN’，即可求出答案试题解析：解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN’最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），∴E和B有关直线AD对称，∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′，∵EN’⊥AB，∴∠EN’A=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN’=AE=3，在△AEN’中，由勾股定理得：EN’=，即BM+MN的最小值是．故选B．【难度】较易类型二 相交直线之间一或两点【例题2】如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）A．10 B．15 C．20 D．30【答案】A【解析】试题分析：先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．试题解析：解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ， 作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM． 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN． 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR， 则△PQR即为周长最短的三角形． ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF． ∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF是正三角形，∴EF=10， 即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10． 故选A．【难度】较易【例题3】如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=5，ON=12，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．【答案】13【解析】试题分析:一方面作M有关OB的对称点M′，作N有关OA的对称点N′，连接M'N'，即为MP+PQ+QN的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而求得答案．试题解析：解：作M有关OB的对称点M′，作N有关OA的对称点N′，连接M’N’，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM’=OM=5，ON’=ON=12，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在中，故答案为：13．【难度】一般类型三 造桥选址【例题4】荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处达到B处，需通过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何拟定两座桥的位置，可使A到B点途径最短？【答案】作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥【解析】试题分析：由于具有固定线段“桥”，导致不能将ADD’E'’EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D’F、E’G，即可得到桥所在位置试题解析：解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=GE’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短【难度】一般类型四 费马点【例题5】在锐角△ABC内求一点P，使PA+PB+PC为最短值.【答案】【解析】试题分析：设点P为所求点，则PA+PB+PC为最短，将△ABP绕B点逆时针旋转60°，得到△A’BP’位置，显然△AA’B与△PP’B为等边三角形，则有P’A’=AP，PP’=PB，故A’P’+P’P+PC=AP+BP+CP，如果PA+PB+PC为最短，则必须A’P’+P’P+PC最短，而只有折线A’P’+P’P+PC变为直线段A’C时，才是最短试题解析：解：（1）将绕逆时针旋转60°，得到 （2）连接 （3）作直线与直线相交于点，且使接近的哪一点就是的位置【难度】一般类型五 和最小【例题6】如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，是AD上的动点，是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．【答案】【解析】试题分析：作E有关AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N．根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥，即可得出答案.试题解析：解：作E有关AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N∵，，AD 是BC边上的中线∴，，AD平分∠BAC∴M在AB上，在中，∴∴∵E有关AD的对称点M∴∴根据垂线段最短得出：即即的最小值是【难度】较难类型六 差最小【例题7】如图，（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则应选择在哪里建厂？（2）若要使厂部到A、B两村的水管最短，应建在什么地方？【答案】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等（2）作出点A有关河岸的对称点C，连接CB，交河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小【解析】试题分析：（1）到A、B两村的距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，因此作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点（2）要使厂部到A、B两村的水管最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B）点有关EF的对称点，连接对称点与B点，与EF交点即为所求试题解析：。