平稳时序模型ARMA.ppt

§2.3 时间序列模型 Stochastic Time Serial Model一、时间序列模型概述 二、平稳时间序列模型的平稳性条件三、平稳时间序列模型的识别四、平稳时间序列模型的估计五、平稳时间序列模型的检验六、ARIMA模型案例说明• 严格从理论体系讲，本节内容属于时间序列分 析，但不属于我们所定义的狭义的计量经济学 • 本节内容一般不纳入计量经济学的课堂教学内 容，供没有学习过应用数理统计或者经济预测 课程的同学自学• 课件只提供一个简单的思路一、时间序列模型概述1、时间序列模型• 两类时间序列模型– 时间序列结构模型：通过协整分析，建立反映不同时间 序列之间结构关系的模型，揭示了不同时间序列在每个 时点上都存在的结构关系– 随机时间序列模型：揭示时间序列不同时点观测值之间 的关系，也称为无条件预测模型• 平稳时间序列模型包括：AR(p)、MA(q)、 ARMA(p,q)• 平稳时间序列模型并不属于现代计量经济学2、随机时间序列模型的适用性• 用于无条件预测– 结构模型用于预测的条件：建立正确的结构模型，给定 外生变量的预测值– 无条件预测模型的优点• 结构模型的简化形式– 结构模型经常可以通过约化和简化，变换为随及时间序 列模型。

二、随机时间序列模型的平稳性条件1、AR(p)模型的平稳性条件• 随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成 的随机时间序列的平稳性来判断 • 如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列 是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的； 否则，就说该AR(p)模型是非平稳的• 考虑p阶自回归模型AR(p)AR(p)的特征方程 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆 外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的容易得到如下平稳性条件必要条件 充分条件 2、MA(q)模型的平稳性• 有限阶移动平均模型总是平稳的 当滞后期大于q 时，X的自协方 差系数为0 3、ARMA(p,q)模型的平稳性• ARMA(p,q)平稳性取决于AR(p)的平稳性• 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平 稳的，否则，不是平稳的4、总结• 一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳 的随机过程或模型 • 一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分 的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时 间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型 • 如果将一个非平稳时间序列通过d次差分，将 它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q) 模型作为它的生成模型，则该原始时间序列是 一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average）时间序列，记 为ARIMA(p,d,q)。

三、随机时间序列模型的识别• 所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个 平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随 机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯 AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程• 所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（ autocorrelation function，ACF）及偏自相 关函数（partial autocorrelation function ， PACF ）1、AR(p)过程• 自相关函数ACF k期滞后自协方差 k阶自 相关 函数 可见，无论k有多大， k的计算均与其１到p阶滞后的自 相关函数有关，因此呈拖尾状如果AR(p)是平稳的，则 |k|递减且趋于零（可作为平稳性判断方法）• 偏自相关函数自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性 ，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的 隐含关系与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partial autocorrelation，简记为PACF)则是消除了中 间变量Xt-1，…，Xt-k+1 带来的间接相关后的直 接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的 条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。

AR(p)的一个主要特征是:k>p时， k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 ，即k*在p以后是截尾的 • 随机时间序列AR(p)的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即k>p时， k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序 列是自回归AR(p)序列18• AR(p)模型的自相关函数和偏自相关函数的计算看起来较为复杂，但是计量经济学软件都有自相关和偏相关函数的菜单，使用起来非常方便• 以Eviews软件为例，我们来看AR(p)模型的自相关函数和偏自相关函数 19AR(1)模型xt=0.7xt-1+ut的自相关图和偏自相关图自相关图 呈现出 拖尾特征 偏自相关图 在1阶以后 呈现出 截尾特征2、MA(q)过程• MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相关 函数截尾，即自q以后，k=0（ k>q）；而它 的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平 均MA(q)序列21MA(1)模型xt=ut+0.8ut-1的自相关图和偏自相关图偏自相关图 呈现出 拖尾特征 自相关图 在1阶以后 呈现出 截尾特征3、ARMA(p, q)过程• ARMA(p,q)模型的识别规则：若随机序列的自 相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则此序 列是ARMA(p,q)序列。

• 实际上，ARMA(p,q)过程的偏自相关函数，可 能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes） ，但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的 自相关函数则是在q阶滞后前有几项明显的尖 柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零23ARMA(1,1)模型xt=0.8xt-1+ut-0.3ut-1的自相关图和偏自相关图可以看出，ARMA(1,1)模型的自相关图和偏自相关图均是在k=1达到峰值后呈现出按指数衰减的拖尾特征24ARMA(2,2)模型xt=0.8xt-1-0.3xt-2+ut-0.5ut-1+0.7ut-2 的自相关图和偏自相关图可以看出，ARMA(2,2)模型的自相关图和偏自相关图在k=1、2达到两个峰值后按指数或正弦衰减ARMA模型的识别原则ARMAARMA ACF拖尾q阶截尾拖尾PACFp阶截尾拖尾拖尾至于模型中的p和q阶具体取什么值，则要从低阶开始逐步试探，直到合适的模型为止四、随机时间序列模型的估计• AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较 多，大体上分为3类： –最小二乘估计； –矩估计； –利用自相关函数的直接估计• 下面有选择地加以介绍⒈ AR(p)模型的Yule Walker方程估计k=-k此方程组被称为Yule Walker方程组。

该方程 组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,,p与 自相关函数1,2,,p的关系 ⒉ MA(q)模型的矩估计将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计 量代替，得到： 非线性方程组，用直接法 或迭代法求解常用的迭 代方法有线性迭代法和 Newton-Raphsan迭代法 ⒊ ARMA(p,q)模型的矩估计• 在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数 1,2,,p与1,2,,q以及2，其估计量计算步 骤及公式如下：• 第一步，估计1,2,,p • 第二步，改写模型，求1,2,,q以及2的估计值 构成一个MA模型按照估计MA模型参数的方法， 可以得到1,2,,q以及2的估计值 ⒋ AR(p)的最小二乘估计解该方程组，就可得到待估参数的估计值 五、模型的检验1、残差项的白噪声检验• 由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随 机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此， 如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一 白噪声序列• 如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表 一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需 重新识别与估计。

• 在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自 相关• 可用QLB统计量进行2检验：在给定显著性水平 下，可计算不同滞后期的QLB值，通过与2分布 表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差 序列为白噪声的假设若大于相应临界值，则 应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计 2、AIC与SBC模型选择标准• 在多组通过识别检验的（p,q）值选择最适当 的模型• 常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法（ Akaike information criterion，简记为AIC）与 施瓦兹贝叶斯法（Schwartz Bayesian criterion ，简记为SBC）：• 在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好六、ARIMA模型案例• 如何使用ARMA模型来考察非平稳单位根过 程数据的动态性呢？ • 一种简单的方法就是：首先对单位根变量(比 如)进行差分，使之变为平稳数据，然后对差 分后的平稳数据使用ARMA模型进行分析这 种情形下的ARMA模型就成为ARIMA模型 • 如：ARIMA(2,1,3)，其中2表示自回归的阶数 ，3表示移动平均的阶数，1则表示差分的数 次• 为说明如何使用ARIMA模型考察时间序列数据的动 态调整过程，我们来看一下我国通货膨胀的动态调 整行为。

• 以年度商品零售价格指数( )表示通胀率，数据来 源于《新中国60周年统计资料汇编》，见图2.3.1 ：图2.3.1：我国年度通胀率• 从数据波动特征看，我国的通胀率没有明显上升趋 势，也没有明显的下降趋势，意味着数据生成过程 中不包括确定性趋势，因此，我们使用不含漂移项 和时间趋势项的单位根检验，使用AIC准则确定滞 后期，检验结果为：• t = (-0.175) (0.736) (-2.79)• 输出结果： 可以判定 为 • 考察 的自相关图（AC）和偏自相关图（PAC）它们具有一 定“拖尾”的 特征，因此 使用ARMA模 型分析• 结合最小AIC准则，最终确定的短期动态调整行为 由ARIMA(2,1,2)所表述即：t = (0.54) (0.54) (2.82) (-2.08) (-7.05)• 输出结果：。