正切-余切图像的性质-反三角函数.doc

正切、余切函数图象和性质 反三角函数 　　[知识要点] 　　1．正切函数、余切函数的图象与性质 　　2．反三角函数的图象与性质 　　3．已知三角函数值求角 　　[目的规定] 　　1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 　　2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 　　3．能纯熟运用正、余弦函数性质解决问题. 　　4．能用反三角函数值表达不同范畴内的角. 　　[重点难点] 　　1．正切函数图象与性质　 2．已知三角函数值求角 　　[内容回忆] 　　一、正切函数与余切函数图象 　　由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一种函数的结识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 　　作三角函数图象的一般措施，有描点法和平移三角函数线法. 　　与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一种周期内的图象上三点及两条重要的线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 　　若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请人们看余切函数的图象，不难得到答案. 　　二、正、余切函数的性质 　　由图象可得: 　 y=tanx y=cotx 定义域 值域 R R 单调性 在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性 T=π T=π 对称性 10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 　　注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多种间断点（不持续点）. 　　2、每个单调区间一定是持续的. 　　3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 　　三、反三角函数的概念和图象 　　四种三角函数都是由x到y的多值相应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范畴，使之成为由x到y的相应.从以便的角度而言，这个x的范畴应当（1）离原点较近；（2）涉及所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最佳是持续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 　　1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. 　　y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. 　　y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. 　　y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 　　2．反三角函数的图象 　　由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 　　 　　注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 　　（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. 　　（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. 　　（4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 　　四、反三角函数的性质由图象，有 　 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域 [-1,1] [-1,1] R R 值域 [0, π] (0, π) 单调性 在[-1，1]上单增 在[-1，1]上单减 在R上单增 在R上单减 对称性 10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无 10对称中心非奇非偶 20对称轴；无 10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无 10对称中心非奇非偶 20对称轴；无 周期性 无 无 无 无 　　此外: 　　1．三角的反三角运算 　　arcsin(sinx)=x(x∈)　 　arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) 　　arctan(tanx)=x(x∈)　　 arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 　　2．反三角的三角运算 　　sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])　 cos(arccosx)=x (x∈[-1,1]) 　　tan(arctanx)=x (x∈R)　　cot(arccotx)=x (x∈R) 　　3．x与-x的反三角函数值关系 　　arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1]) 　　arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1]) 　　arctan(-x)=-arctanx (x∈R) 　　arccot(-x)=π-arccotx(x∈R) 　　4． 　　五、已知三角函数值求角 　　1. 若sinx=a (|a|≤1)，则x=kπ+(-1)karcsina(k∈Z) 　　2. 若cosx=a (|a|≤1)，则x=2kπ±arccosa(k∈Z) 　　3. 若tanx=a (a∈R), 则x=kπ+arctana (k∈Z) 　　4. 若cotx=a (a∈R), 则x=kπ+arccota(k∈Z) 　　具体计算和表达时，应根据x的范畴来拟定x的个数. 　　[典型例题分析] 　　例1．比较大小: 　　(1) 　　(2) 　　分析:不在余切函数的同一单调区间内，应运用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再运用单调性来比较大小. 　　解:（1）∵ , 　　而，由余切函数在（0，π）上的单减性，有 　　， ∴ 　　（2）∵ 　　∴ . 　　例2．写出下列函数的单调区间 　　(1)　　(2)(3)y=|tanx| 　　分析:(1)若设，则原函数可看作是由y=tanu, 复合而成的复合函数，由于在R上单增，由复合函数的单调性拟定法则，可解决之.类似地，可解决(2). 　　解:(1)∵ 上单增，(k∈Z) 　　此时，(k∈Z) 　　解之得 (k∈Z) 　　∴ 在区间上单增(k∈Z) 　　(2)∵ 原函数由y=cotu, 复合而成，而在R上单减， 　　又y=cotu在(k∈Z)上单减， 　　此时，(k∈Z) 　　解之得 (k∈Z) 　　即 (k∈Z) 　　∴ 在区间(k∈Z) 上单增. 　　(3)分析:由y=tanx图象作翻折可得y=|tanx|的图象，由图象即可得其单调区间. 　　∴ y=|tanx|的单增区间是(k∈Z)，单减区间是(k∈Z). 例3．求函数的值域. 　　分析:考虑到最简原则，将sec2x化为tan2x+1，这样去分母，作变形，就可以得到有关tanx的二次型方程，而tanx∈R，可考虑用鉴别式法求值域.有 　　法一:∵ ， ∴ (y-1)tan2x+(1+y)tanx+(y-1)=0 　　当y≠1时，， ∴ ， 　　当y=1时，tanx=0∈R　 综上，所求值域为. 　　法二:另分析，先对解析式变形“切割化弦” 　　有........(1) 　　∵ , ∴ 　　∴ ,　 ∴ . 　　法三:也可由(1)式 得， 　　解不等式 ， 亦可得 . 　　例4．设，它们有相似最小正周期T，且a,b∈(0,1),若f(1)=g(1)，求f(x),g(x)和T. 　　分析:先从f(x)与g(x)有共同最小正周期入手，找参数a,b关系. 　　解:∵ ，　 ∴ a=2b, 　　∵ f(1)=g(1), ∴ 　　即 ,　　 ∴ 　　∴ 或， 　　∴ 或 　　又b∈(0,1),　　 ∴ . 　　∴ ,T=12. 　　例5．若, cosx+tsinx=t, 求t取值范畴. 　　分析:先将t表达出来，，观测到此式右端与半角正切的有理公式很相像，能否转化？ 　　∵ 　　又， 　　∴ ， ∴ ，即. 　　例6．求值: 　　(1)　　　　　　(2) 　　(3)　　 (4)arctan2+arctan3 　　解:(1)设，则， ∴ 　　∴ 原式. 　　(2)设， 　　∴ ，　 ∴ ， 　　∴ 原式 　　(3)设， 　　∴ ，∴ ， 　　∵ ， ∴ 原式值不存在. 　　(4)设arctan2=a, arctan3=b，则， 　　∴ .又， ∴ 0