用二分法求方程的近似解教学设计.doc

《用二分法求方程的近似解》教学设计广州市铁一中学 黄建武一、学与教的基本面分析1、学习内容及分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学（人教A版）必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解的理论基础是函数零点存在性定理函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，函数与方程思想是本节课要渗透的重要思想二分法在必修3算法一章中是贯穿整个一章的重要范例，为必修3的算法作准备，也为学生进入大学后进行计算方法的学习提供了初步认识基于此，本节课的重点内容是二分法基本思想的理解，要求学生结合函数图象，通过数形结合处理方程的方法，用二分法求方程的近似解2、学生学习的起点知识与技能分析学生在学习本节课内容之前已学习了函数的零点，理解方程的根与函数零点之间的关系，有一定的数形结合思想能力，在此基础上让学生了解算法这一数学思想以及逐渐逼近的数学思想，培养学生数形结合的能力但学生对于合理运用科学计算器，将现代信息技术与数学课堂的整合缺乏一定的认识，这些都给学生用逼近法求方程的近似解造成一定困难因此在教学过程中，为学生创设熟悉的问题情境，多处启发学生，让学生领会二分法思想和归纳二分法的步骤。

3、该专题的学习特点及分析本节课在学习函数的零点的基础上，学习求方程近似解的方法——二分法，教学中要侧重以下几点：（1）、二分法求近似解的条件学习本节课后，有可能有学生会问是不是所有的方程都可以用二分法来求近似解？用二分法求方程近似解的条件：对于在上连续函数，若，则在内有零点；反之不一定成立，例如在上存在零点，但2）、初始区间的确定若第一步初始区间完成了，接下来只需要迭代，也就是循环运算的过程，具体表现为不断“二分”搜索区间教材中都是通过图象观察而得到方程的解的初始区间，因此如何作出函数图象是解决问题的前提3）、二分法的终止解题过程中，区间的“长度”被逐步缩小，直到区间符合精确度要求，我们就得到方程的近似解二、学与教的目标定位本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识但学生对于函数与方程之间的联系的认识还比较薄弱，对于函数的图象与性质的应用、计算器的使用尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的困难。

所以根据教材的要求，学生的实际情况，我将本课的教学目标设定如下： 知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一三、学与教的重点与难点学与教的重点：二分法的理解和操作流程学与教的难点：逼近思想的理解和近似解的选取四、学与教的方式与方法分析本节课采用的是问题导学、数学探究的教学方式：通过问题引导、师生互动，并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生自主探究二分法的原理与步骤1、教学方式体现了以学生为主的教学理念2、创设贴近学生生活的情境，激发兴趣，让学生在活动中体会数学思想 本节课开始，老师从学生解决实际问题中引出课题，通过这样来创设情境，不仅对学生产生很强的吸引力，学生也在思考的过程中体会二分法思想。

通过分步提问，启发得出用二分法求方程近似解的步骤，体会逼近思想和算法思想，分散难点3、重视合作交流，重视探究过程 本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生，在学生合作探究中解决，使学生经历了完整的学习过程，培养了学生思维能力学生自主探究用二分法求方程的近似解；通过讨论交流总结用二分法求方程近似解的步骤本节课中进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性整个课件都以PowerPoint为制作平台，充分体现了信息技术与数学课程的有机整合五、学与教的过程设计（一）、创设情境、引入新课设计意图：由学生身边发生的事情入手，激发学生求知欲情境：2011年10月4日受强台风“尼格”影响，广州市下暴雨，假设广州市中山一路的一段320m电缆线路有一处出现了故障，请你帮忙设计一个维修方案迅速查出故障所在思路1：直接逐段排查．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．师：那么我们能否采用这种逼近的方法解决一些数学问题呢？引出课题——用二分法求方程的近似解二）引导探究、方法建构问题情境：假设线路故障点大概在建立适当坐标系的函数取到零点处位置，我们能否求出这个零点？若不能，能否找出其近似值？师：我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般解决问题的方法。

问题1：不解方程，求方程的一个正的近似解（精确度为）设计意图：以往经验与方法不能用，激起进一步探索的欲望生：我画出的图象（如图），发现正根在之间师：为什么可以确定这个正根在内？生：因，所在必有一零点问题2：如何缩小零点范围？设计意图：进一步将学生推向研究前沿，产生逐步逼近思想与二分法思想生：将区间一分为二，看零点在还是在内师：为什么？生：对平分具有对称性，而且这样缩小区间所在范围也比较快根据零点判断方法，我通过计算器得到，所零点必在区间内师：我们离目标又近了一步，能不能将零点所在范围进一步缩小？生：只要重复刚才步骤即可，取和的中点，将区间分为与，判断零点在哪个区间师：很好，又进了一步，区间范围进次缩小，如果重复以上步骤，零点所在范围会越来越小生：那要进行到哪一步停止呢？师：由题目要求的精确度而定所在区间时，在精确度（即 ）的情况下，方程的近似解可取为二分法的定义：对于在区间上连续不间断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法点评：二分法求方程的近似解的方法从一开始就必须严格按要求一步一步求解，不能为了贪图方便而随意省略步骤，注意用二分法求方程近似解应具备的条件。

练习1：下列函数的图象中,其中不能用二分法求其零点的有 xy0xy0xy0xy0①②③④设计意图：让学生掌握二分法的前提条件，深刻理解二分法含义思考1：利用二分法求函数y=f(x)的零点近似值第一步应做什么？ 生：确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0练习2：求函数f(x)的零点可以取的区间是（ ）A. (-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,2)设计意图：进一步巩固零点存在性定理，揭示确定初始区间的方法思考2: 为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？ 生：求区间的中点c，并计算f(c)的值 思考3：:若f(c)=0说明什么？若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则分别说明什么？ 生：若f(c)=0 ，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c)<0 ，则零点∈(a,c)；若f(c)·f(b)<0 ，则零点∈(c,b). 思考4：若给定精确度ε，如何选取近似值？ 生：当|a—b|<ε时，区间[a，b]内的任意一个值都是函数零点的近似值. 练习3：若函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： x11.51.251.3751.43751.4063f(x)-20.625-0.984-0.2600.162-0.054那么方程的一个近似解(精确度为0.1）为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5设计意图：进一步理解精确度，揭示二分法的终止条件，并掌握如何选取近似解。

师：下面请同学们完整地归纳出二分法求方程近似解的步骤设计意图：通过归纳二分法求方程的近似解的步骤，培养学生的归纳与概括能力，完善学生的认知结构一番讨论后，学生们较一致地认为应分为以下步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间，验证；②求区间的中点；③计算：若，则就是函数的零点，就是方程的实根，计算终止； 若，则选择区间； 若，则选择区间；④判断是否达到精确度ε：即若∣a-b∣<ε,则得到零点近似值a或b；否则重复②、③、④点评： 上述步骤可简记为：一定（确定初始区间），二分（平分区间），三算（计算分点函数值），四判（判断异号区间，判断是否达到精确度）三)、数学应用、自行探究设计意图：通过探究，熟悉用二分法求方程近似解操作过程例：用二分法求方程的近似解精确度为0.1）师：我们用表格来完成求解过程中点值10.50.250.1252.531250.0625因为，所以我们将作为函数的零点的近似值也即方程点评：在解题过程中，要提醒同学们注意保证计算的准确率，取近似解时的最后一个区间应该是哪一个，怎样判断我们的计算已经符合精确度的要求了五）、课堂小结1. 二分法含义 二分法是求函数零点近似解的一种计算方法. 二分法渗透了逼近的数学思想. 2.利用二分法解方程近似解的操作步骤（1）确定区间[a,b]；（2）取区间中点c；（3）计算并确定缩小区间；（4）循环进行，达到精确度。

六）、布置作第92页习题3《学习与评价》 趣味数学：有48个大小形状一样的小球，有一个质量和其它47个不一样，现只有一个天秤，如何最快地把这个质量不同的小球找出来.（七）板书设计§3.1.2用二分法求方程的近似解1．二分法的含义2．用二分法求函数的零点近似值的步骤六 、教学反思第 6 页 共 6 页。