高等数学下：11.5多元函数微分学在几何学上的应用.ppt

11.5 多元函数微分学在多元函数微分学在 几何学上的应用几何学上的应用11.5.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面11.5.2 空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.11.5.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1.曲线的参数方程曲线的参数方程考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置——切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.解解:切线方程切线方程法平面方程法平面方程例例1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：（以（以x为参数）为参数）空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为同样地：同样地：（以（以y为参数）为参数）空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为同样地：同样地：（以（以z为参数）为参数）例例2.2.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为例例3. 所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为1. 曲面方程为曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线11.5.2 空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线令令则则切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.2. 空间曲面方程形为空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为全微分的几何意义全微分的几何意义:其中其中解解:切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为例例4. 解解: 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程例例5. 解解: : 设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得例例6.因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)解：解： 令令故指向外侧的法向量故指向外侧的法向量:方向余弦为方向余弦为例例7.故故1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面2. 空间空间曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法））（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号））小结小结思考题思考题:解：解： 设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程练习题练习题练习题答案练习题答案。