线性代数第四章矩阵的特征值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 矩阵的特征值,第一节 矩阵的特征值与特征向量,第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量,第二节 相似矩阵,一 矩阵的特征值,二 特征值与特征向量的基本性质,第一节 矩阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念,定义4.1,为阶方阵，,为数，,为维非零向量，,若,则,称为,的,特征值,，,称为,的,特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵,的特征值，就是使齐次线性方程组,特征向量，特征值问题只针对方阵；,有非零解的,值，即满足,的,都是,方阵,的特征值,定义4.2 设,A,为,n,阶矩阵,含有未知量,的矩阵,I-A,称为,A,的特征矩阵,其行列式,为,的n次多项式,称为A的特征多项式,称为A的特征方程.,求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤:,1.由矩阵A的特征方程,求出A的特征值,2.对于矩阵A的不同的特征值,求出,一个基础解系,则,为矩阵A对应特征值,的特征向量.,例1.求矩阵的特征值和特征向量,例2.求矩阵的特征值和特征向量,练习.求矩阵的特征值和特征向量,例3.求矩阵的特征值和特征向量,练习.求矩阵的特征值和特征向量,例3.求矩阵的特征值和特征向量,的一个基础解系为,则矩阵对应于,的特征向量为,的一个基础解系为,的特征向量为,则矩阵对应于,练习.求矩阵B 的特征值和特征向量,二、特征值和特征向量的性质,定理4.1 n阶矩阵A与它的转置有相同的特征值.,有一个成立,则矩阵A的所有特征值的模小于1.即,定理4.2 n阶矩阵,A=,(,a,ij,),若,定理4.3 互异特征值对应的特征向量线性无关。

对应于特征值 的线性无关的特征向量.,对应于特征值 的线性无关的特征向量.,则,是线性无关的.,、若,为可逆阵,的特征值，则,的一个特征值为（）,、证阶方阵,的满足，则,的特征值为,或,、三阶方阵,的三个特征值为、，则,（）,、求下列方阵的特征值与特征向量,一 相似矩阵及其性质,二 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,第二节 相似矩阵,定义4.3,设,都是n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵,P,使得,则称,是,的,相似矩阵,，或者说矩阵,称为对,进行,相似变换,，,对,进行运算,可逆矩阵,称为把,变成,的,相似变换矩阵,与,相似,记作：,则,定理4.4 (1)相似矩阵有相同的特征值.,(2)相似矩阵有相同的秩,(3)相似矩阵的行列式相同.,(4)相似矩阵同时可逆或者同时不可逆.,注,(1),任何一个n阶矩阵都有相似矩阵;,(2)我们赶兴趣的是一个n阶矩阵是否能够相似于一个对角矩阵?,(3)若不是任何一个矩阵都能相似于一个对角矩阵,矩阵相似于对角矩阵需要什么条件?或者说什么样的矩阵能相似于对角矩阵.,定理4.5 阶矩阵,与n阶对角矩阵,，,相似的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量二)n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,设存在,可逆，,使得,于是有,因为,可逆，故,且,是,的个线性,无,关的特征向量。

充分性：,若,有个线性无关的特征向量,对应的特征值为,即,令,则,P,可逆，且,所以,即,与对角矩阵,相似,定理的证明告诉我们，,如果阶矩阵,与对角矩阵,相似，则,的主对角线上的元素就是,的全部特征值相似矩阵P的列是对应于,对角线上,元素的特征向量推论 若,阶矩阵,A,有n个两两不同的特征值，则,必与对角矩阵,相似,注意,中的列向量,的排列顺序要与,的顺序一致,（1）,（2）,是,的基础解系中的解向量，,因,的取法不是唯一的，,故,因此,也是不唯一的,推论,若阶矩阵,有,n,个特征值,则可相似对角化,的任,t,i,重,特征值有,对应,t,i,个线性无关的特征向量,n阶矩阵,A,对角化的步骤：,1.求出n阶矩阵A的所有特征值,2.求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量,特征值和特征向量的对应.,若A的特征值的个数小于n（重根按重数计算），,则A不与对角矩阵相似若A有一个t重特征值，对应的特征向量性,无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似3.写出对角矩阵和相似变换矩阵1.求出n阶矩阵A的所有特征值,2.求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量,3.写出对角矩阵和相似变换矩阵的一个基础解系为,的一个基础解系为,且,第四节 实对称矩阵的特征值和特征向量,一 内积的定义和性质,三 正交向量组,二 向量的长度与夹角,四 正交矩阵与正交变换,五 对称矩阵的相似变换,一、内积的定义与性质,定义4.5,设维实向量,称实数,为向量,与,的,内积,，记作,注：,内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,定义4.6 对于n维列向量,其长度为,向量长度也叫向量的模或范数.,特别地,长度为的向量称为,单位向量,.,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,向量长度的性质,（4）柯西施瓦兹（,CauchySchwarz,）不等式:,当且仅当,与,的线性相关时，等号成立.,注,当,时，,由非零向量,得到单位向量,是,的单位向量.,称为把,单位化,或,标准化,.,的过程,二、正交向量组,定义4.7,若,则称,与,正交,.,注,若，则,与任何向量都正交.,定义4.8 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,由单位向量组成的正交组称为,标准正交组.,定理4.8 正交向量组是线性无关的.,证明:若向量组,下面证明,是正交向量组,则对于任意,对于任意的i,即,由于,是正交向量组,不包含0向量.因此,由i的任意性可得,即正交向量组是线性无关的.,施密特（,Schmidt,）正交化法,设,是线性无关的,把它们化为标准正交,向量组的过程称为标准正交化.这里我们讨论,施密特（Schmidt）正交化法.包括正交化和标准化两个过程.,1）正交化,令,就得到,的一个标准正交向量组.,2）标准化,令,注,则,两两正交，且与,等价.,上述方法中的两个向量组对任意的,与,是等价的.,例1,证明：中，勾股定理,成立,的充要条件是正交.,解,所以,成立的充要条件是,即正交.,已知三维向量空间中，,例2,正交，,试求,是三维向量空间的一个正交基.,解,设,则,即,例3,已知向量,求的一个标准,正交基.,解,设非零向量 都于正交，,即满足方程,或,其基础解系为,令,1）正交化,令,2）标准化,令,第四章第三节 (三)正交矩阵,1、定义,如果阶矩阵满足：,则称,为,正交矩阵,.,正交矩阵的性质,1、正交矩阵行列式为1或者-1；,2、若Q为正交矩阵，则Q可逆，且Q,-1,=Q,T,;,3、两个正交矩阵的乘积为正交矩阵。

定理4.9 设Q为n阶矩阵，则Q为正交矩阵的充要条件为Q的行(列)向量组是单位正交向量组例:判断下列矩阵是否为正交矩阵.,定理,4.10 对称矩阵的特征值为实数.,(四)实对称矩阵的特征值和特征向量,定理4.11,对称矩阵的互异特征值对应的特征向量,正交.,结论：若阶对称阵,的任重,特征值对应的线性,无关的特征,向量恰有个,定理4.12,若为阶对称阵，则必有正交矩阵,，,使得,一般的n阶矩阵不一定相似于对角矩阵.对称矩阵呢？,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,为对角矩阵，其具体步骤为：,将特征向量正交化;,3.,写出相似变换矩阵和相应地对角矩阵.,5.,2.,1.,例,求正交矩阵P，使得,将特征向量单位化.,4.,。