(必修4)第一章_三角函数.doc

三角函数一、基本内容串讲本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用1．任意角和弧度制从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k·3600 （k∈Z）的形式，特例，终边在x轴上的角的集合为{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=900+k·18000，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·900，k∈Z}另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制在弧度制下，扇形弧长公式l=|α|R，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数2．任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数设P(x，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，3．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系： （2）商数关系：4．三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即与α之间函数值的关系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

5．三角函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数周期性 单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数最值当时，当时，当时，当时， 无对称性对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：无6．函数的图象作函数的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取0，，，，来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象2）用“图象变换法”作图由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”法一：先平移后伸缩， 法二：先伸缩后平移 可以看出，前者平移个单位，后者平移个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则会出现错误 当函数（A>0，，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。

7．三角函数模型的简单应用通过对三角函数模型的简单应用的学习，学会由图象求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型二、考点阐述考点1 任意角的概念和弧度制1、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、在到范围内，与角终边相同的角是（ ）A. B. C. D. 3、若，，则角的终边在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4、的值等于（ ）A. B. C. D.考点2 弧度与角度的互化5、求下列三角函数的值：（1）＝ ； （2）＝ 考点3 任意角三角函数的定义6、函数的值域 7、8、若角的终边上有一点，则的值是（ ）A． B． C． D． 【解析】，故选A。

考点4 正弦、余弦、正切函数的诱导公式9、 解：考点5 正弦、余弦、正切函数的图象画法及性质的运用10、如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近302010Ot/hT/℃68101214似满足函数（其中）， 那么这一天6时至14时温差的最大值是________；与图中曲线对应的函数解析式是________________.11、已知 （在区间[]上的最小值是-2，则的最小值是（ ） A、 B、 C、2 D、312、已知函数(A>O, >0,<)的最小正周期是，最小值是-2，且图象经过点（）， （1）求这个函数的解析式；（2）给出下列6种图象变换方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍；③图象向右平移个单位； ④图象向左平移个单位；⑤图象向右平移个单位； ⑥图象向左平移个单位请用上述变换将函数y = Asinx的图象变换到函数 的图象，则能实现y =A sinx到的图象正确变换序号是 解析】：（1）由题意得， ∵图象过（）， 即又 ，故函数解析式为（2）先平移后伸缩的步骤为：④①，先伸缩后平移的步骤为①⑥，故变换为④①或①⑥。

考点6 三角函数的周期性13、下列函数中，最小正周期为的是A. B. C. D. 答案：B考点7 同角三角函数的基本关系式14、（1）已知，并且是第二象限角，求．（2）已知，求．解：（1）∵， ∴又∵是第二象限角， ∴，即有，从而， （2）∵， ∴，又∵， ∴在第二或三象限角当在第二象限时，即有，从而，；当在第四象限时，即有，从而，．15、已知，求 解：变：求16、已知 ,.（1）求的值； （2）求的值.解：（1）因为，， 故，所以. …………3分（2）.………………8分考点8 的实际意义17、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位18、已知函数（）.（1）当时，写出由的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数解析式；（2）若图象过点，且在区间上是增函数，求的值.解：（1）由已知，所求函数解析式为. （2）由的图象过点，得，所以，.即，.又，所以.当时，，，其周期为，此时在上是增函数；当≥时，≥，的周期为≤，此时在上不是增函数.所以，. 考点9 三角函数模型的简单应用19、已知函数（1）求的最小正周期;（2）求的单调区间;（3）求图象的对称轴，对称中心.解析： （1）T=π； （2）的单增区间， 的单减区间； （3）对称轴为20、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.【解析】：设月份为x,由条件可得：出厂价格函数为, 销售价格函数为 则每期的利润函数为: 所以，当时，（2+）m，即6月份盈利最大.三、解题方法分析1．明确任意角的概念，从角的概念推广上理解三角函数的定义【方法点拨】将角的概念推广，引入弧度制，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，树立数形结合思想。

例1若角的终边上有一点，则的值是（ ）A． B． C． D． 【解析】，故选A点评】：本题属于“知道”层次，能准确识别角的弧度制、了解三角函数的定义，数形结合是解决问题的入手点2．熟悉同角三角函数的基本关系及诱导公式，在公式的应用中提高运算能力【方法点拨】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式进行三角函数的化简、求值及简单三角恒等式的证明是本章的基本问题之一，其主要考查形式为客观题例2 已知，且是第四象限角，则= 【解析】：由已知得：， ∴原式．【点评】：（1）本题属于“理解”层次，考查考生的基本运算能力；（2）本题解答的关键是灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式，解题时要特别注意符号 　 3、弄清三角函数的图象和性质，深化对主干知识的理解 【方法点拨】三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观反映，而性质则往往通过对图象的描绘、观察进行讨论和探究，它是本章知识的重中之重，务必掌握 例3.已知函数f (x)=，试讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，]上的单调性。

【解析】：∵f (x)= =|sin2x|，∴ f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x)，∴f (x)为偶函数 ∵， ∴ 周期T=∵f (x)= |sin2x|= sin2x，[0，]，∴f (x)在[0,]上f (x)单调递增；在[,]上单调递减点评】：本题属于“理解”层次，考查考生对所学过的内容能进行理性分析；通过对性质的探究进一步弄清函数的图象例4已知函数(A>O, >0,<)的最小正周期是，最小值是-2，且图象经过点（）， （1）求这个函数的解析式.（2）给出下列6种图象变换方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍；③图象向右平移个单位； ④图象向左平移个单位；⑤图象向右平移个单位； ⑥图象向左平移个单位请用上述变换将函数y = Asinx的图象变换到函数 的图象，则能实现y =A sinx到的图象正确变换序号是 解析】：（1）由题意得， ∵图象过（）， 即又 ，故函数解析式为（2）先平移后伸缩的步骤为：④①，先伸缩后平移的步骤为①⑥，故变换为④①或①⑥。

点评】：本题属于“理解”层次，重点考查的图象变换和性质，要注意知识间的相互联系四、课堂练习参考答案1-6 BBCC B B 6提示：由T=2（3-1）=4，得＝,将（1，1）代入得＝7、二、 8． 提示：2a+1=3,a=1, 9． 提示： 10、； 11．提示：将函数的图象放大2倍再向上平移一个单位即可 12．解：原式 。