高等数学上教案.pdf

高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”,“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力第一章：函数与极限教学目的与要求 18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念4.掌握基本初等函数的性质及其图形5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系6.掌握极限的性质及四则运算法则7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性 质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质第一节：映射与函数一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A,B,C,D表示集合；用a,b,c,d表示集合中的元素1)4 =4,3,.12)4=#1的，性质 元素与集合的关系：aA a&A一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集常见的数集：N,Z,Q,R,N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A u B如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A=B若作A u B且A H B则称A是B的真子集2、集合的运算并集：A o B=x|x e AMx G B 交集 A c 8 ：A c B =x|x w A月/e B差集 A B：A 8 =x|xe A且x e 8全集I、E 补集集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、AJB=B y其中y称为元素X的像，并记作/（x）,即 y=/（x）注意：1）集合X；集合Y；对应法则/2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一3）单射、满射、双射2、映射、复合映射三、函数1、函数的概念：定义：设数集。

uR,则称映射R为定义在D上的函数 记为 y=/（x）x e D自变量、因变量、定义域、值域、函数值用/、g、（P函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：1）y=22）y=I x l r11 13）符号函数 y=x=o1 X Y O4）取 整 函 数y =x （阶梯曲线）5）分段函数2y x1 +x0 x o 3 N V N p(x a)0 B N N x“e O(a )极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系二、收敛数列的性质定 理 1:如果数列卜0 收敛，那么它的极限是唯一定理2如果数列卜“收敛，那么数列 x,一定有界定 理 3：如果l i m x”且 a 0(a 0,当 n N 时，X-0 0X,0 (x 0使：(xo x 7,x0)(x0,xo+/?)(=：Z)2)如果自变量x趋于X时，相应的函数值/(x)有一个总趋势-以某个实数A为 极 限，则 记 为：l i m /(x)=AX T 形式定义为：V -0-3 -V x(O|x-xo|6|/(x)-7 i|o o 的极限设：y=/(x)x e (H O,他)如果当时函数值 有一个总趋势.该曲线有一条水平渐近线y=A-则称函数在无限远点oo有极限。

记为:lim f(x)=AX X X)在无穷远点00的左右极限：/(+8)=lim/(x)/(-)=Um/(x)关系为：lim f(x)=A lim/(1)=A=lim f(x)X 00 A +00 X-二、函数极限的性质1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性3、函数极限的局部保号性4、函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列 居 ,如果成立如下的命题：V f 0-3 N-V N-|x|则 称 它 为 无 穷 小 量，即lim xn=0X-X JO注：1、V 3 的意义；2、闻 可 写 成 一q ;p(O,Xn)0 mN V”N k J G那么称它为无穷大量记成：lim%”=oo特别地，如果VG0与 G,则称为正无穷大，记成 lim=+oo特别地，如果VGO与NV N x,lim =0X 00 Y人 注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设卜 和 是无穷小量于是：(1)两个无穷小量的和差也是无穷小量：lim xn=0 lim yn=0=lim(x“)=0 x 00 X co x-co X8(3)%.y J 也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小0limxn=0 lim yn=0=lim(xn%)=()x 00 X oo x oo(4)设”|也是无穷小量：lim=0 o lim k J =0X-X0 KTXo(5)无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算1、若 函 数/和 g 在点X有极限，则lim(/(x)+g(x)=lim/(x)+lim g(x)Xx xo Xf而2、函 数/在 点 x0有极限，则对任何常数“成立lim(a-f(x)=lim f(x)x x0 x x03、若 函 数/和g在点X有极限，则Hm(/(x)g(x)=lim/(x)-lim g(x)x x0 x .r0 x x03、若 函 数/和g在 点 有 极 限，并 且lim g(x)=/，O,则1 1m(效=吧=4lim g(x)0X f*o极限的四则运算成立的条件是若函数/和g在点X有极限例：求下述极限X f 3 X-9limX f l2 x-3 5x+4xxix-lx A3X2-2X-1lim SVIA 2_一+5XT8%4、复合函数的极限运算法则定理6设函数y=/g(x)是由函数y=/3)与”=g(x)复合而成,/g(x)在点4的某去心邻域内有定义，若limg(x)=o,0lim/(w)=A,且 存 在 品 0,当%(40,(50)时，有g(x)H o，则lim fg(x)=imf(u)=A工 7 与 M-M0第六节：极限存在准则两个重要极限定 理 1夹 逼定 理：三数列卜“、居 和 z“,如果从某个号码起成立：1)xn y 00X 00lim=aX 00定理2单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛sinx,例：证明：hm-=11 0 Xta n x例：1-COS 尤hm-：2Xa rcsin xlim-1 0%证明:lim(l+)x有界求 lim(l L)”的极限X 00 X X 1 8 X第七节：无穷小的比较定义：若a,，为无穷小-=-K-aC23一l i ml i ml i r nl i ml i m且高阶、低阶、同阶、k阶、等价a41、若a,尸为等价无穷小则夕=1+3)2、若a、夕 夕 且lim S存在,则：l i m 4=l i m例:t a n 2xl i m-zs i n 5%sinxlim-ax+3x2r(i+x2r-ilim-1 o cos x-1第八节：函数的连续性与间断点一、函数在一点的连续性函 数/在 点X连续，当且仅当该点的函数值/(%)、左极限/(x0-0)与右极限/(x0+0)三者相等：/(xo-O)=/(xo)=/(xo+O)或者：当且仅当函数/在点/有极限且此极限等于该点的函数值lim/(x)=f(x0)其形式定义如下：Xf 0Ve0 3J Vx(|x-x0|J)f(x)-f(xo)lim-f(x)+p-g(x)=a/(x0)+/?-g(%)X T%2 lim f(x)=/(%)且 liin g(x)=g(x0),=l i m /(x)*g(x)=/(X o)*g(X o)3.lim/(%)=/(%)且 lim g(x)=g(%)NO,x的 x 配nlimIX。

g(%)g(%0)反函数连续定理：如果函数f：y =/(x)x e Df是严格单调增加(减少)并且连续的，则存在它的反函数f：x =f (y)y G Df并且/t也是严格单调增加(减少)并且连续的注：1)反函数的定义域就是原来的值域2)通常惯用X表示自变量，Y表示因变量反函数也可表成y =(x)%G r，复合函数的连续性定理：设 函 数/和 g满足复合条件况gUf,若函数g在 点 X 0连续；g(X o)=%,又若/函数在点即连续，则复合函数fog在点X注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：lim/(g(x)=/(lim g(x)X-XQ X f 与从这些基本初等函数出，通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续第十节：闭区间上连续函数的性质一、最大、最小值设函数：y =/(x),x e在上有界，现在问在值域A =f(x),x e D)中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点/e的函数值N o =/Uo)，则记%=m a x/(x)叫做函数在D上的最大值XGD类似地，如 果Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点e Df的函数值%=/(%2)，则 记 内=m j p /(x)称为函数在上的最小X QL)f值。

二、有界性有界性定理：如果函数/在闭区间L,“上连续，则 它 在 上 有界三、零点、介值定理最大值和最小值定理：如 果 函 数/在 闭 区 间 上 连 续 则 它 在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点G和1，使得/(1)/(%)/(?),x e a,b 亦即f(，)=m i n /(x)/()=m a i/(x)x e a,b x e a,b 若xo使/(/)=0,则称xo为函数的零点零点定理：如果函数f在闭区间卜上连续，且f在区间口,同的两个端点异号：.7 3)*/3)XQ X XQf/(x):l i m KX+)TX)A xf 0 A x左导数/flo+A x)T x o)fl：x)Y x()f_(x)=lim -=lim.-A x fAx x-xp_ X-X()右导数f 1(x)=l i m -)n n )Ax-o+A x Xfxo+X-Xf/(xo)=A f _/(xo)=*(xo)=A可以证明：可导一连续即可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件左右导数(注：与左右极限关系)2、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,yo)处切线：y-y0=f/(x0X x-x0)例1：讨论 xsin X KO在x=O处可导性f(x)=0 x 0 X出X)在x=0连续l i m岖 4-=l i m s i J 不存在 f(x)在x f0 X-0 x0 Xx=0不可导例2：已知f/(X()存在则 l i m 2 h)-*x2)=2 f (x)2。

h .-l i m 出xA,-5h)=-5 f ;(x)1h -1 1 m+3/z)-/(xh)h=lim+3 h)-f(x()f(x(-h)-f(x()D h h=4 f/(x0)例 3：设函数出X)可微，则I h n L x +A x)-(x)=2 gx)f(X)2A x-例4：设 x2 x4 xo文 f(x)=a x+b x 0为使 X)在 X =x o 处可导，应如何选取常数a、b解：首先f(x)必须在xo连续l i m f(x)=l i m x2=XQx XQ-x X0-l i m f(x)=l i m a x+b =a x0+bX f X0+X f X0+/.a x+b =xj f。