2.6.5函数的对称性（原卷版）.docx

第章 函数的应用2. 函数的对称性 高中要求1掌握函数的轴对称；2 掌握函数的中心对称.1 函数图象自身的对称关系① 轴对称：若f(x+a)=f(b-x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.② 中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b-x)=c(a , b , c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 , c2)对称.2 两个函数图象之间的对称关系① 轴对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与 y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2对称.特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象关于直x=0对称.② 中心对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c-f(b-x)的图象关于点(b-a2 , c2)对称.特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=-f(b-x)图象关于点(b-a2 , 0)对称.3 周期性与对称性拓展① 若函数y=f(x)同时关于直线x=a , x=b对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b-a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=2a；② 若函数y=f(x)同时关于点a , 0 , (b , 0)对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b-a|；③ 若函数y=fx同时关于直线x=a 对称，又关于点b , 0对称 , 则函数y=f(x)的周期 T=4|b-a|；特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=4|a|. 【题型1】 函数图象自身的对称关系【典题1】 已知函数f(x)=2x2x2-4x+8，则(　　)A．函数f(x)的图象关于x=2对称 B．函数f(x)的图象关于x=4对称 C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称 D．函数f(x)的图象关于(4,4)对称【典题2】 定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)成中心对称且对任意的实数x都有f(x)=-f(x+32)且f(－1)=1,f(0)=－2，则f(1)+f(2)+…+f(2014)=(　　)A．1 B．0 C．-1 D．2变式练习1.已知函数f(x)=|x-3|－|x+1|，则下列描述中正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于直线x=1对称 B．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．函数f(x)有最小值，无最大值 D．函数f(x)的图象是两条射线2.已知函数f(x)=2xx-1，则下列结论正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于点(1,2)对称 B．函数f(x)在(-∞,1)上是增函数 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A,B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x=1对称3.(多选)函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么(　　)A．f (2-x)=f (x) B．f (1-x)=f (1+x)C．函数y=f (x+1)是偶函数 D．函数y=f (x-1)是偶函数4.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则f(-2)值是　 　5.函数f(x)=ax+3x-1(a≠0)的对称中心为(1,-1)，则a=　　．【题型2】两个函数图象之间的对称关系 【典题1】 若函数f(x)=log2(x+1)图象与函数y=g(x)的图象关于原点对称，则(　　)A．g(x)=log2(1-x) B．g(x)=－log2(x+1)C．g(x)=-log2(x-1) D．g(x)=－log2(1-x) 变式练习1.同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21-x的图象(　　)A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称2.下列函数中，其图象与函数y=log2x的图象关于直线y=1对称的是(　　)A．y=log22x B．y=log24x C．y=log2(2x) D．y=log2(4x) 【题型3】函数性质综合题型 【典题1】 (多选)定义在R上的奇函数f(x)，满足f(1+x)=f(3-x)且f(x)在[0，2]上单调递减，f(2)=-2，则(　　)A．函数f(x)图象关于直线x=2对称 B．函数f(x)的周期为6 C．f(2024)+f(2022)=2 D．设g(x)=e-|x+2|(-6