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2015年考研数学一真题及答案解析.docx

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题一、选择题：18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.<1>设函数在内连续,其中二阶导数的图形如图所示,则曲线的拐点的个数为< > [答案]〔C〕[解析]拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此,由的图形可得,曲线存在两个拐点.故选〔C〕.<2>设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则< > [答案]〔A〕[分析]此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.[解析]由题意可知,、为二阶常系数齐次微分方程的解,所以2,1为特征方程的根,从而,,从而原方程变为,再将特解代入得.故选〔A〕<3> 若级数条件收敛,则与依次为幂级数的< > 收敛点,收敛点收敛点,发散点发散点,收敛点发散点,发散点[答案]〔B〕[分析]此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质.[解析]因为条件收敛,即为幂级数的条件收敛点,所以的收敛半径为1,收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点,发散点.故选〔B〕.<4> 设是第一象限由曲线,与直线,围成的平面区域,函数在上连续,则 < > [答案]〔B〕[分析]此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分[解析]先画出D的图形,所以,故选〔B〕<5>设矩阵,,若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 < > [答案]D[解析],由,故或,同时或.故选〔D〕<6>设二次型在正交变换为下的标准形为,其中,若,则在正交变换下的标准形为< > [答案][解析]由,故.且.所以.选〔A〕<7> 若A,B为任意两个随机事件,则< > [答案][解析]由于,按概率的基本性质,我们有且,从而,选.<8>设随机变量不相关,且,则< > [答案][解析],选.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.<9> [答案][分析]此题考查型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换.[解析]方法一：〔罗比达法则〕方法二：〔等价无穷小替换〕<10>[答案][分析]此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.[解析]<11>若函数由方程ez+xyz+x+cosx=2确定,则[答案][分析]此题考查隐函数求导.[解析]令,则又当时,即.所以,因而<12>设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域,则[答案][分析]此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算.[解析]由轮换对称性,得,其中为平面截空间区域所得的截面,其面积为.所以<13>阶行列式[答案][解析]按第一行展开得<14>设二维随机变量服从正态分布,则[答案][解析]由题设知,,而且相互独立,从而.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.<15><本题满分10分>设函数,,若与在是等价无穷小,求的值.[答案][解析]法一：原式〔泰勒展开法〕即<16><本题满分10分>设函数在定义域I上的导数大于零,若对任意的,由线在点处的切线与直线与轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式.[答案].[解析]设在点处的切线方程为：令,得到,故由题意,,即,可以转化为一阶微分方程,即,dxdy=8y2,两边同时积分可得x=-8y+c,将f0=2,代入上式可得c=4即.<17><本题满分10分>已知函数,曲线C：,求在曲线C上的最大方向导数.[答案]3[解析]因为沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模.,故,模为,此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单,可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：,得到.所以最大值为.<18><本题满分10分>〔I〕设函数可导,利用导数定义证明〔II〕设函数可导,,写出的求导公式.[解析]〔I〕〔II〕由题意得<19><本题满分10分>已知曲线L的方程为起点为,终点为,计算曲线积分.[答案][解析]由题意假设参数方程,<20><本题满11分>设向量组内的一个基,,,.〔I〕证明向量组为的一个基;〔II〕当k为何值时,存在非0向量在基与基下的坐标相同,并求所有的.[答案][解析]证明：故为的一个基.〔II〕由题意知,即即即,得k=0<21><本题满分11分>设矩阵相似于矩阵.(I) 求的值；〔II〕求可逆矩阵,使为对角矩阵..[解析]A~B,可得a+3=b+2的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令,<22><本题满分11 分>设随机变量的概率密度为对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.求Y的概率分布；求EY[解析]记p为观测值大于3的概率,则,从而的概率分布为：,：EY=n=2∞n∙PY=n=n=2∞n∙(n-1)∙(18)2∙(78)n-2=164n=2∞n∙(n-1)∙(78)n-2令：Sx=n=2∞n∙(n-1)∙xn-2 -1<本题满分11分>设总体X的概率密度为：其中θ为未知参数,为来自该总体的简单随机样本.求θ的矩估计量.求θ的最大似然估计量.[解析],令,即,解得为的矩估计量；似然函数,当时,,则.从而,关于单调增加,所以为的最大似然估计量. / 。

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