No 2-4 IS-LM经济周期模型的Hopf分叉.doc

1第八章 有时滞的 IS-LM 经济周期模型的 Hopf 分叉8.1 引言早在二十世纪三十年代，法国物理学家 Le Corbeiller 建议将非线性动力学的振动理论应用于分析经济周期[69]Hopf 分叉定理[85]作为工具用于分析极限环的存在性似乎是由 Torre [86]最先引入动态经济学的，他研究了一个标准的 IS-LM 模型 ),(),(rYSIYMLr其中 是总产值， 是投资， 是储蓄， 是货币需求，而 是恒定的货币供ILM给 和 分别是商品和货币市场的调节系数Hopf 分叉定理的其它应用可以在诸如 Benhabib 和 Nishimura[87]，Medio[88], Krawiec 和 Szydlowski[89]的文章找到在二维的情况下，将分叉定理应用于已知模型实际上并没有给出任何新的东西Hopf 分叉定理的实际领域是维数大于或等于 3 的动态系统，对于这类系统 Poincare-Bendixson 定理已不适用了Gabisch 和 Lorenz 在[70, pp168 ]中考虑一个扩充的经济周期模型 ),(),(rYSKIY(8-1)MrLrI),(其中 是资本存量， 是资本存量的折旧率。

这个模型似乎是凯恩斯传统理论K中最简单的完整经济周期模型之一Boldrin 在[90]中曾研究过类似的模型在 Kalecki 经济周期模型[72]中，Kalecki 假设利润的储蓄部分用于投资，而资本的增长是由于过去的投资决定这样，在投资决定与机器设备安装期间就有一个时间滞后本章中，Kalecki 的思想被引入 IS-LM 模型(8-1)形成如下广义的 IS-LM 经济周期模型 ),(),(rYSKIY2(8-2)),(MrYLrKTtIK,其中 是时滞参数投资依赖于做出投资决定时的收入和投资完成时的资本存量后者是如下事实的结果：在时刻 仍有一些投资要在 和 之间完成TtTtt我们假设当计划新的投资时，要考虑到在这段时间产生的资本存量在本章中，Hopf 分叉定理将用于预测对时滞参数的分叉极限环的出现我们注意到，出现极限环的关键因素是 Kalecki 的时滞参数，而不是通常假设的 S 形投资函数最后，一个有时滞的线性系统的例子证实本章有关的理论结果8.2 线性 IS-LM 模型假设投资函数 ，储蓄函数 和货币需求函数 关于其变量是线性的，即ISLrKYI1lS21rL3其中 都是正常数。

现在方程组(8-2)变为32121,,,l ))()(1KrY(8-3)32MrlrTtK)()(11方程(8-3)的特征方程为 0)()()( 113221 Tel即(8-4)023 TTeEDCBA其中 )(131l3)()()()( 13212131 lllB  32llC1D3E一般而言，超越方程(8-4) 有无穷多个根且不易求得分析解事实上，除了直接的数值积分外我们还有两种方法可以处理这类问题第一种方法是线性稳定分析，特别适合于小时滞的情况第二种方法是 Hopf 分叉定理在下面的小节中，我们将分别使用这两种方法先给出两个引理引理 8.1 （Hopf 分叉定理[91]）假设动力系统Rxfxn,),(有一个平衡点 且满足0*(1)系统的 Jacobi 矩阵有一个纯虚数的特征根，并且没有其它实部为零的特征根这意味着有一条满足 的光滑曲线 Jacobi 矩阵的*0*)(x),(*x共轭复特征根 （在 为纯虚数）随着 光滑地变化如果另),(外还有(2) 0)(Red则存在从 处 分叉的周期解，其周期近似为 ，其中 。

0)(0*x 02i)(00引理 8.2 （Routh-Huwitz 准则[92]）假设矩阵 的特征多项式nRAnnaaAI 110)det(那么矩阵 的特征值全部都具有负实部的充要条件是如下 个行列式都大于零,,21n其中 称为 Huwitz 行列式，它们定义为i4niaaaiiii ,21,032314205  且规定 ikk,8.3 线性稳定分析对于小时滞 ， , 特征方程(8-4)变为TTe1(8-5)0)()(23 ECDBA根据引理 8.1 和引理 8.2，在 处出现分叉的条件是[70, pp166]0, , (8-6)0DTET且(8-7)CBA))((00令 ECTDBTTg )()(),(23它在 处的值为0 sks223),(其中 , 特征方程(8-5)在 处的特征根为0DTAs0ETBk0T)()(0s2102,1 )ik其中 是虚数单位求 的隐导数得i ,(TgETDBATd )(232令 及其偏导数在 取值可得g05(8-8)2002201 )(3)(() RPiDTAkEBkiEDkdT其中 , 。

8-8)式的实部是023TBPTA)(0202201 )(3()(Re TkDkd且 等价于)(01T(8-9))(( 020DTAEkDB注意到 和 是正的，如果下面的条件满足且0TA0则不等式(8-9)成立因此不等式(8-6)是特征根 的实部有正斜率的充分条)(1T件根据 Hopf 分叉定理，系统在 处分叉为极限环0T8.4 Hopf 分叉分析令 并将(8-4)式分为实部和虚部i 0)cossincos(32  TEDTeCBAT i2 D为了找到首次分叉点，我们令 ，则上述两方程退化为0(8-10)cossin2TECA(8-11)i3B方程(8-10)和(8-11)容易求得其数值解如果首次分叉点为 ，则其它),(bififT的分叉点 满足),(T,21,2nbif将(8-10)和(8-11)式分别平方后相加可得(8-12)0)()( 222426 ECDABA6这是关于 的三次方程当 较大时，上式的左边为正当 且220时，上式左边为负因此，如果上述条件满足，则方程(8-12)至少有2EC一个正实根。

此外，我们还有下面的引理[93]引理 8.3 定义 3213121327474aaa并假设 ，那么三次方程030321zz关于 至少有一正单根的充要条件是（1）满足 (a) 且 或者0,21a,321a(b) 且（2） 记 TTeEDCBATG23),(则(8-13)TTed   )(23)2(8-13)式在 和 处取值可得bifTbif212242 ))(()(Re QPDACBAdd bifififTTbifbif 其中 bifbifbifbif TDCABPcos)(3221 ifififififTAQin3令 ，则方程(8-12)变为2bifx 22223 )()()( ECxDABx7且222)(3)( DACBxAxf 如果 是方程(8-12)的首个正单根（如果它是一个二重根，取下一个根作为bif） ，则if 0)(bifTx因此)(21QPfdbifiTbif 根据 Hopf 分叉定理，我们得到本章的主要结果定理 8.1 假设引理 8.3 的条件满足且 是方程的首个正单根（如果它是一个bif二重根，取下一个根作为 ） ，则当 经过 时出现 Hopf 分叉。

bifTif类似的分叉现象也出现于多党政治系统的模型[93]8.5 例子当 , , , , 2,35.0,1.1.0,2.,3.1ll05.M时，系统(8-3)变为.021KrY5.4.1.rrTtK6.02.)(3.0特征方程(8-4)变为 018.45.1.8.7.23  TTe容易验证定理 8.1 的条件满足，因此当时滞参数 经过分叉点 时7401.bif出现了极限环分叉此时相应的特征根为 , 此325.0 i6932,18外，此闭轨线的近似周期为 9846.63.02)(~bifT即该系统的经济周期约为 8.984968.6 结论当我们考虑投资决定和支出之间的差别时，我们遇到了投资中的时滞问题根据这点我们建立了时滞的广义 IS-LM 经济周期模型Hopf 分叉定理用于预测在哪些时滞参数值会出现极限环分叉本章的模型证实, 即使是线性投资函数也能出现极限环行为而不是传统的 S 形投资函数本章也证实, 在极限环的存在性上，Kalecki 时滞参数起了关键的作用第 5 节的例子证实了相关的理论分析。