天津科技大学李伟版高等数学第三章习题解答.doc

习题3—1（A）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值一定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处一定存在着水平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以用来判断函数是否存在零点，二者没有差别；（4）虽然拉格朗日中值公式是一个等式，但将进行放大或缩小就可以用拉格朗日中值公式证明不等式，不过这类不等式中一定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不一定是极值；而极值未必是最值这是显然的． （2）不正确．例如在点处取极值，但是曲线在点却没有水平切线． （3）不正确．前者是判断是否有零点的，后者是判断是否有零点的． （4）正确．一类是明显含有的；另一类是暗含着的．2．验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的．解：显然在闭区间上连续，在开区间内可导，且，于是函数在区间上满足罗尔定理的条件， ，由，有，得，，所以定理的结论也成立． 3．验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理，并求出公式中的．解：显然在闭区间连续，在开区间内可导，于是函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，，，由，有，得，，所以定理的结论也成立． 4．对函数、在区间上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的． 解：显然函数、在闭区间上连续，在开区间 内可导，且，，在区间内，于是函数、在区间上满足柯西定理的条件，又，由，有，即，由于，得，所以定理的结论也成立．5．在内证明恒为常数，并验证．证明：设，显然在内可导，且 ，由拉格朗日定理的推论，得在内恒为常数，设，用代入，得，所以．6．不求出函数的导数，说明有几个实根，并指出所在区间．解：显然有三个零点，用这三点作两个区间，在闭区间上连续，在开区间内可导，又于是在满足罗尔定理，所以至少有，使得，同理至少有，使得，所以至少有两个实根． 又因为是三次多项式，有时二次多项式，于是是二次代数方程，由代数基本定理，得至多有两个实根．综上，恰有两个实根，且分别位于区间与内．7．证明下列不等式：（1） 对任何实数，证明；（2） 当时，．证明：（1）当时，显然成立．当时，取函数，显然在闭区间上连续，在开间内可导，由拉格朗日定理，有，使得，即，所以． 当时，只要将上面的区间换为，不等式依然成立． 所以，对任何实数，都有． （2）取函数，当时，函数在闭区间上连续，在开区间内可导，根据拉格朗日定理，有，使得． 因为，则，所以．8．若函数在区间具有二阶导数，且，其中，证明在区间内至少有一点，使得．证明：根据已知，函数在区间及上满足罗尔定理，于是有，（其中），所得，． 再根据已知及，函数在区间上满足罗尔定理，所以有，所得，即在区间内至少有一点，使得．习题3—1（B）1．在2004年北京国际马拉松比赛中，我国运动员以2小时19分26秒的成绩夺得了女子组冠军．试用微分中值定理说明她在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h（马拉松比赛距离全长为42.195km）．解：设该运动员在时刻时跑了（km），此刻才速度为（km/h），为解决问题的需要，假定有连续导数．设起跑时，到达终点时，则，对函数在区间上用拉格朗日定理，有，所得，而 km/h，所以． 对在区间及上分别使用连续函数的介值定理（注意 ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有，，使得，，这表明该运动员在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h．2．若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明方程在开区间内至多有一个实根．证明：采用反证法，若方程在开区间有两个（或两个以上）不同的实根，即，根据已知函数在上满足罗尔定理，于是有，使得，与在开区间内矛盾，所以方程在开区间内至多有一个实根． （注：本题结论也适用于无穷区间）3．证明方程只有一个正根．证明：设（），则，根据上题结果，方程在内至多有一个实根． 取闭区间，函数在上连续，且，，由零点定理，有，使得，从而方程在内至少有一个实根． 综上，方程只有一个正根，且位于区间内．4．若在内恒有，证明．证明：（方法1）设函数，则，根据拉格朗日定理的推论恒为常数，设，用代入，得，记，则，所以． （方法2）记，，若，则满足；若，对函数以为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以．5．若函数在区间可导，且满足，，证明.证明：设函数（），则，由，得，根据拉格朗日定理的推论恒为常数，设，用代入，且由，得，所以，即．6．证明下列不等式（1）当时，证明；（2）对任何实数，证明．证明：（1）取函数（）显然函数在区间上满足拉格朗日定理，则有，使得，即，所以 ． （2）当时，显然． 当时，取函数，对在以为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以． 综上，对任何实数，都有．7．若函数在闭区间[，]上连续，在开区间（，）内可导，（其中），且．在闭区间[，]上证明．证明：对[，]，当时，，．不等式成立．当时，根据已知，函数在以为端点的区间上满足拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以，，从而． 综上，在闭区间[，]上恒有．8．若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明在开区间内至少存在一点，使得．证明：设函数（），则，再根据已知，函数在区间满足罗尔定理，则有，使得．而，于是．所以，在开区间内至少存在一点，使得．习题3—2（A）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利用函数的柯西中值定理得到的，因此不能利用洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“”，“”型不定式，都可以用洛必达法则来求其的极限值；（3）型如型的不定式，要想用洛必达法则，需先通过变形．比如“”型要变型成为“”，“”型，型要先通过变型，转化为“”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使用洛必达法则，首先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使用洛必达法则． （2）不正确．如（型）、（型）、（型）都不能用洛比达法则求得极限值．（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“”型通常是直接化为“”，“”型．2．用洛必达法则求下列极限：（1）； （2）（）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）；解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）． (6) ． （7）． （8）． （9）． （10）． （11）设，则，因为，所以， ． （12）设，则，因为，所以． （13）设，则，因为，所以． （14）根据海涅定理，．3．验证极限存在，并说明不能用洛必达法则求得．解：．因为极限不存在，因为此极限不能用洛必达法则求得．4．验证极限存在，并说明不能用洛必达法则求得． 解：．因为极限不存在，因为此极限不能用洛必达法则求得．习题3—2（B）1．用洛必达法则求下列极限：（1）； （2）（3）； （4）； (5) ； （6）（）．解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）令，则原式． （5）令，则，因为，所以． （6）令，则，再令，因为，所以．2．当时，若是比高阶的无穷小，求常数．解：根据已知，有，由分母极限为零，则有分子极限也为零，于是，得，此时，再由分子极限为零，同样得，进而，得，所以时，当时，是比高阶的无穷小．2． 若函数有二阶导数，且，求极限．解：．（注：根据题目所给条件，不能保证连续，所以只能用一次洛比达法则，再用二阶导数的分析定义）习题3—3（A）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由： （1）只要函数在点有阶导数，就一定能写出该函数的泰勒多项式．一个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，二者相差一个不恒为零的余项；（2）一个函数在某点附近展开带有拉格朗日余项的阶泰勒公式是它的次泰勒多项式加上与该函数的阶导数有关的所谓拉格朗日型的余项；（3）在应用泰勒公式时，一般用带拉格朗日型余项的泰勒公式比较方便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当本身是一个次多项式时，有，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数． （2）不正确．拉格朗日型的余项与函数的阶导数有关． （3）不正确．利用泰勒公式求极限时就要用带有皮亚诺余项的泰勒公式，一般在对余项进行定量分析时使用带拉格朗日型余项的泰勒公式，在对余项进行定性分析时使用带皮亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为，，，于是，代入到中，得 ．3．按的乘幂形式改写多项式． 解：因为，，，，更高阶导数都为零，于是，，将其带入到中，得 （其中恒为零）．4．将函数在点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式．解：因为，则，，， 于是，将其带入到中，得．5．写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．解：因为（）（参见习题2.5（B）3）， 于是，（），，将其带入到，得 ．6．将函数按的乘幂展开为带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式．解：因为，于是（），，将其代入到中，得（介于与之间）．习题3—3（B）1．为了修建跨越沙漠的高速公路，测量员测量海拔高度差时，必须考虑地球是一个球体而表面不是水平，从而对测量的结果加以修正．（1）如果表示地球的半径，是高速公路的长度．证明修正量为 ． (2)利用泰勒公式证明 ．（3）当高速公路长100公里时，比较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公里）．证明：（1）由，有，又在直角三角形中，，于是 ，由此得．（2）先将展开为4阶麦克劳林公式，为此求得， ，， ， 于是 ；当时，，取，得，于是 ． （3）按公式计算，得修正量为，按公式计算，得修正量为， 它们相差大约为．2．写出函数的带佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．解：由，令，得，按规律，由于项的后一项为，所以余项也可以用．3．写出函数的带皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式．解： ， 同上一题，余项也可以用． （注意：像2、3题用变量代换写泰勒公式的方法只使用于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适用带有拉格朗日型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗日型余项）4．应用三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： 。