范希尔夫妇学生几何思维理论.docx

范希尔夫妇认为学生的几何思维主要有哪些发展阶段？荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观(Visualization)、分析(Analysis)、 推理(Inference)、演绎(Deduction)、严谨(Rigor).这些不同的水 平是不连续的，但却是顺次的．学生在进入某一水平学习之前，必须 掌握之前水平的大部分内容.水平 0：前认识水平只能注意直观开头的某一些特征例如可 以区分正方形和圆，却不能区分正方形和三角形在这个水平，学生 推理的对象是具体的形象或者触觉的刺激其结果是能够识别一些 “相同的形状”水平 1：直观化学生按照外观来识别和操作形状和另外一些几 何图形他们能在心理上把这些图形表示为直观图像例如，学生说 所给的图形是矩形，是因为它“看起来像门”然而，他们不关心几 何性质或所表示图形种类的特征化也就是说，尽管图形的性质决定 图形，而这个水平的学生装却未意识到图形的性质在这个水平上， 学生的推理为知觉所主宰水平 2：描述/分析到了第二个水平学生通过图形的性质来识 别图形并能确定图形的特征例如，一个学生可能认为菱形是四条边 相等的图形；因此，术语“菱形”指的是“他已经学过的所谓‘菱形' 性质”的一个集合。

通过观察、测量、画图和建模等手段经验地建立 了性质学生发现某些性质的组合标志着一类图形，而有些图形却不 这样；因而播了几何含意的种子然而这个水平的学生装看不出两类 图形之间的关系（例如，一个学生可能会满足于一个图形因为它是正 方形所以不是长方形）水平 3：抽象/关联在水平3，学生能形成抽象的定义区分要 领的必要条件和充分条件；能理解几何领域的逻辑论证，有时甚至能 提出这样的论证他们能分层次将图形分类（通过排出图形性质的顺 序）并给出判别它们类别的非形式化论证水平 4：形式推理达到水平4 时，学生在公理化系统中建立定 理他们识别未定义术语、定义、公理和定理之间的差异他们能构 造原始的证明；也就是说，他们可以作出系列陈述，对作为“已知条 件”的结果的一个结论作逻辑判断水平 5：严密性/元数学在第5 水平，学生在数学系统中进行形 式推理即便没有参照模型，他们也能研究几何，而且还能通过形式 化地操作如公理、定义、定理等几何陈述进行推理推理的对象是形 式化构造间的关系他们推理的产物是几何公理系统的建立，及其详 尽阐述与比较。