概率论与数理统计课件：第7讲 随机变量函数的分布.ppt

问题的提出问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣如更感兴趣如: 已知圆轴截面直径已知圆轴截面直径 D 的分布的分布, §2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布求截面面积求截面面积 的分布又如：已知又如：已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 I 的分布，的分布，求功率求功率 W=I2R (R为电阻为电阻) 的分布等的分布等 一般地，设随机变量一般地，设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，求求Y = g(X) (设设 g 是连续函数是连续函数) 的分布 这个问题无论在理论上这个问题无论在理论上还是在还是在实实际中实实际中都非常重要都非常重要2.4.1 离散型随机变量离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解：当当 X 取值取值 - -1，，0，，1，，2 时，时， Y 取对应值取对应值 4，，1，，0 和和 1由由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1，， P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7，， P{Y=4} = P{X=- -1} = 0.2 .例例1 1：：设随机变量设随机变量 X 有如下概率分布：有如下概率分布： 求求 Y= (X – 1)2 的概率分布。

的概率分布得得 Y 的概率分布：的概率分布： 一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 随机变量，概率分布为随机变量，概率分布为如果如果 g(x1), g(x2), ……, g(xk), …… 中有一些是相同中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大不妨认为从小到大) 的的 y1, y2 ,……, yi ,…….把 yi 所对应的所有所对应的所有xk ( 即即yi = g(xk) ) 的的 pk相加，相加，记成记成 qi , 则则 q1, q2, ……, qi ,……就是就是Y = g(X) 的概的概率分布例例2：：在应用上认为在应用上认为: 单位时间内，一个地区发单位时间内，一个地区发生火灾的次数服从泊松分布设某城市一个月生火灾的次数服从泊松分布设某城市一个月内发生火灾的次数内发生火灾的次数 X～～P(5)，试求随机变量，试求随机变量Y=Y=| |X-5|-5|的概率分布的概率分布 解：解：由于由于X的所有可能取值为的所有可能取值为0, 1, 2, ……, 对应对应的概率分布为的概率分布为及及Y=|X- -5|可知，可知，Y 的所有可能取值为的所有可能取值为0, 1, 2, ……。

且对每个且对每个 i，，当当 0< i≤ 5时，有时，有 k=5+i 和和k=5- -i 两个两个 k 值与值与 i 对应对应, 使使 |k- -5|=i ; 当当i=0 或或 i≥6 时，只有一个时，只有一个 k 值与值与 i 对应，使对应，使|k- -5|=i 于是，于是，Y的的概率分布为：概率分布为：2.4.2 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布解：解：设设 Y 的分布函数为的分布函数为 FY(y)，则，则例例3：：设随机变量设随机变量X 有概率密度有概率密度求求 Y = 2X+8 的概率密度的概率密度于是于是Y 的密度函数的密度函数注意到注意到得得 从上述例中可以看到从上述例中可以看到, 在求在求P(Y≤y)的过程的过程中中, 关键的一步是设法从关键的一步是设法从{ g(X)≤y }中解出中解出X,从从而得到与而得到与 {g(X)≤y }等价的等价的X的不等式的不等式 例如例如: 用用{X≤(y- -8)/2 } 代替代替 {2X+8≤y}, 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，求出的分布，求出相应的相应的Y的分布函数的分布函数 FY (y)。

这是求随机变量函数这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的分布函数的一种常用方法的一种常用方法 下面给出一个定理，当定理的条件满足下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机变量函数的概率密度时，可直接求随机变量函数的概率密度 注注:a可以是负无穷可以是负无穷,b可以是正无穷可以是正无穷其中其中 x = h(y) 是是 y = g(x) 的反函数，的反函数， 定理定理1: 设设 X是具有概率密度是具有概率密度 fX(x)的连续的连续型型随机变量随机变量,且在区间且在区间[a, b]外取值为外取值为0, 又设又设 y= g(x)在在(a,b)内内可导的严格单调函数可导的严格单调函数, 记记 (α, ββ) 为为g(x)的值域，则随机变量的值域，则随机变量Y = g(X)是是连续型连续型随机变量，概率密度为随机变量，概率密度为例例6：：设随机变量设随机变量X在在 (0,1) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求 Y=- -2ln X 的概率密度的概率密度解：解：在区间在区间 (0, 1) 上，函数上，函数 ln x < 0，，故故 y = - -2ln x >0, 于是于是 y = - -2ln x 在区间在区间 (0,1) 上单调下降上单调下降,在在(-∞,0)上取上取值, 有反函数有反函数 由前述定理，得由前述定理，得注意取注意取绝对值绝对值已知已知 X 在在 (0,1) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y 服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布。

求导可得求导可得当当 y>0 时时,例例7：：设设 X 具有概率密度具有概率密度fX(x)，，求求Y=X2的密度解：解：设设Y 和和X的分布函数分别为的分布函数分别为FY(y)和和FX(x), 注意到注意到 Y=X2 ≥0，故当，故当 y≤0时，时，FY(y)=0；；若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 从上述例中可以看到从上述例中可以看到, 在求在求P{Y≤y}的过程的过程中中, 关键的一步是设法从关键的一步是设法从{ g(X)≤y }中解出中解出X,从从而得到与而得到与 {g(X)≤y }等价的等价的X的不等式的不等式 例如例如: 用用{X≤(y- -8)/2 } 代替代替 {2X+8≤y},用用 代替代替{ X2≤ y } 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，求出的分布，求出相应的相应的Y的分布函数的分布函数 FY (y) 这是求随机变量函数这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的分布函数的一种常用方法的一种常用方法例例8：：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求 Y = sinX 的概率密度。

的概率密度当当时时 解：解：注意到注意到,当当 y≤0 时，时， FY(y)=0；； 当当 y≥1时，时，FY(y)=1；；当当 0< y <1时时, 而而对对 FY (y) 求导，得求导，得所以所以例例9：：已知随机变量已知随机变量X的分布函数的分布函数F(x)是严格是严格单调的连续函数单调的连续函数, 证明证明Y=F(X)服从服从[0,1]上的上的均匀分布均匀分布又由于又由于X的分布函数的分布函数F是严格递增的连续函数是严格递增的连续函数, 其反函数其反函数 F- -1 1 存在，且严格递增存在，且严格递增证明证明: 设设Y 的分布函数是的分布函数是 G(y)，，于是，于是，对对 y>1, G(y)=1;对对 y<0, G(y)=0;由于由于0≤y≤1，，对对0≤y≤1,G(y)=P{ Y≤ y }=P{ F(X)≤ y }=F[ (y)]= y，，即即Y的分布函数是的分布函数是=P{ F- -1 [F(X)]≤F-1-1 (y) }=P{ X≤F-1-1 (y) }Y 的密度函数的密度函数故故, Y 服从服从[0，，1]上的均匀分布。

上的均匀分布 本节介绍随机变量函数的分布问题对本节介绍随机变量函数的分布问题对于连续型随机变量，在求于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时的分布时, 关键一步是把事件关键一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为转化为X在一定在一定范围内取值范围内取值 {X∈∈ G} 的形式的形式，然后利用，然后利用 X 的的分布求分布求 P { g(X)≤y }小结小结。