平面几何与解析几何.docx

一.平面几何与解析几何平面几何（plane geometry）是古希腊的玩意儿，在公元前三百年便由欧几 里得（Euclid）编辑成书，所以又叫做欧几里得几何（Euclidean geometry）,只 准用圆规及直尺在平面上游戏.注意圆绝对圆，直线绝对直，在世间无，因此平 面几何象古希腊的哲学（爱智之学）,是心想而没有物质的；实用的几何则是近似 的. 平面几何是数学的一支,研究“如果甲则乙”.例：等腰等角定理（isosceles isogonal theorem）或等腰定理：如果［三图 1--1角形两边相等］则［对角相等］.已知：在AABC中，AB = AC 求证：ZB = ZC（问：为什么要“求”？答：寻求而非乞求.）证明：考虑ABAC及ACAB :AB 二 AC ， AC = AB,ZBAC = ZCAB .（已知）ABAC = ACAB，(SAS)从而ZABC = ZACD. （ AC, AB 的对角）证毕.已证的结果叫定理，可以留作后用，例如SAS （边角边）是定理，在讨论 上例前已证.再举一例：（毕氏定理（Pythagorean theorem）的逆（converse）定理）给出 AABC中，三边BC, AC, AB的长依惯例分别用a,b,c来表示.图 1--2求证：ZC = 90o证明：（可用余弦定理证或）作 AA' B C',使 ZC = 9Oo, b'三 A' C' = AC ,a'三 BC' = BC .以 c'表示 A',B'.因c '2 = a '2 + b '2 （毕氏定理）c2 = a2 + b 2， （已知）c'= c ，（取代）从而AABC=AA'B'C'. （SSS）所以ZC = ZC' ，（对应角）ZC = 9Oo.（取代）证毕.毕氏为希腊人毕达哥拉斯（Pythagoras）的简译，他生于公元前五百多年 ，他的学派创立了推理法或演绎法（deduction）,用它证明了毕氏定理，由此发 现了无理数（irrational number） .j2 :设上面的ZB = 450，且a二一单位（ 单位可任选），则J2为£.暂设为有理数（rational number），即a（1）迈=m,其中nm,n为正整数.我们可以消去m,n的公因子，即假设m,n互质（relativelyprime）：没有大于1的（正整数）公因子.由（1）得2n 2 = m2 . （2）两边都可以分解因子至质数，即除自己外没有大于1的因子；不计乘法的顺序 这种分解至质数积的式子是唯一的，从而由（2）知m含因子2 : m = 2k，其中k为正整数.这样(2)a=l图 1--3叫做“唯一析因定理” ( unique可写成n2 = 2k2.再作n的质数 因子分解，知n也可被2整除， 与m,n互质的假设矛盾.回顾， 除(1)外，步步有理，故(1) 不成立，即\込不是有理数.证毕.上面提到正整数分解为质数积的结果factorization theorem)，它与物理、化学里将物分解为分子、原子 类似•我们也可倒过来用质数积造数，例如用7,11,13造7 x 11 x 13二1001 ；这样，我们便知道将一个任意的三位数xyz重复写，所得的六位数xyzxyz能被7,11,13整 除，而且商是 xyz ！无理数的名称反映了保守派的势力.我们管毕氏定理叫勾股定理，是否也嫌 保守，忽略了希腊人创立演绎法的里程碑？问：在我们的勾股定理及四大发 明后面有什么突出的方法？在它们前面又有什么远大的理想？［古印度人也会证毕氏定理:用 图1--2作四边形AB'C'C, B, A'在CC'內同一点.梯形AB'C'C的面积为 (b+a)(a+b)/2; 用直角三形角分算, 得 ba/2+cc/2+ab/2. 故当他人沉溺于几何国中，笛卡儿(Rene，Descartes，1596--1650)用两条轴来决定一点(x, y), x轴垂直于y轴，叫直角坐标(rec tangular coordina tes), 图 1--4一方面将平面几何化简为“代数”或解析几何(analytic geometry),另一方面,三维、四维、…、n维空间的观念也自然地接踵而来:IRn 三｛(a ,a , ,a ): a ,a , ,a 是实数｝1 2 n 1 2 nIRn表示n维向量空间(n-dimensional vec tor space).在IRn中引入社会结 构数积(scalar multi plica tion)、点^ 口(poi nt wise add ition)及点积(dot product):九(a , a , , a ) = (ka ,九a , ,九a ),1 2 n 1 2 n(a , a , , a ) + (b , b , , b ) = (a + b , a + b , , a + b ),1 2 n 1 2 n 1 2 2 n n(a ,a , , a ) - (b ,b , ,b ) = a b + a b +..... + a b1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n其中k , a , a ,……,a , b , b ,……,b都是实数，叫数量、纯量或标量(scalar),1 2 n 1 2 na ,a ,……,a 分别是点(point)或向量(vector) (a ,a ,……,a )的第一、第二、…、1 2 n 1 2 n图 1--5第n坐标.回到n二2，k (a , a ) = (ka , ka ),1 2 1 2(a , a ) + (b , b ) = (a + b , a + b ),1 2 1 2 112 2(a , a ) - (b , b ) = a b + a b1 2 1 2 1 1 2 2上面(x, y)可当作是一点P,可当作是OP (O = (0,0))，也可以当作是OP平行移动所得的向量，叫做“自由”向量•这样当k > 0时，k (a ,a )是向量(a ,a )1 2 1 2的k倍.注意OR = (a ,a ) + (b ,b )也是物理中力向量(a ,a ), (b ,b )的和.1 2 1 2 1 2 1 2例：求R = (c ,c )的坐标，其中RQ = tPQ , P =12(a , a ) ，12Q= (b1,b2)图 1--6解：从点P作线平行于x轴，交从R, Q到x轴的垂线于S,T,则APRT 〜APQS ,(相似)c 二 a + s(b 一 a )2 2 2 2或直接用向量算：OR =OP + PR,(c ,c ) = (a ,a ) + s[(b ,b )-(a ,a ). (s = 1 -1) (3)1 2 1 2 1 2 1 2 解毕.例：求两点(3,2),(4,-3)连线的中点.解：先推公式(4),再取t =丄，得中点的公式:(c , c ) = (a + b , a + b )，(向量和的一半)1 2 2 1 1 2 24)即解毕.1 7 1(Tc2)= 2(3 + 4,2 — 3)=(2，_2)-例：证明平行四边形两对角线相互平分.证：不妨设 A = (0,0), B = (a , a ), D = (b , b )，则 C = (a + b , a + b ).由12(4)知AC的中点是(a + b + 0, a + b + 0)2 1 1 2 2=丄(a + b , a + b ),2 1 1 2 2BD的中点是(a + b , a + b )2 1 1 2 2故AC, BD相互平分.证毕.1 2 1 1 2 2图1--8习题：在AABC中，连中线 AD及在AD上取一点G，使AG = 2GD .证明 1 —OG = 3 (OA + OB + OC),从而证明AABC三中线相交于G .给出直线(straight line) L上 的两个点(x , y ),(x , y ),1 1 2 2得斜率(slope)y - ym = t 1 (5)x 一 x2 1故L上的任意点(x, y)的方程是y 一 y1x 一 x16)x 一 x21或E)3x + 5 y -10 _ 0.解毕.由毕氏定理知两点(x , y ),(x , y )的1 1 2 2距离(distance)是d :图 1 — 11例：求经过两点(3,1),(-2,4)的直线的方程式.解：由(5)及(6)得y -1 _ 4 -1x - 3 — - 2 - 3 •化简，得d _ <(X2-X1)2 + (y2 -人)2故圆(circle)的方程式为¥‘(x-X])2 + (y - y1)2 _ r， (8) 其中(x , y )为圆心，r为半径.上式可改写成：11(x - x )2 + (y - y )2 _ r 2 . (9)11 例：求圆心为(1,2)，半径为3的圆的方程.解：由(9)得(x -1)2 + ( y - 2)2 _ 32展开，得x2+ y2 -2x-4y-4 _0.解毕.在三维、四维、……、n维空间里也可以如上玩耍•笛卡儿因发明解析几何 成为现代数学的创始人.他又是现代哲学的创始人，他的名言是：我思故我在.想 是在思考及怀疑一切、几乎失落之际迸出来的，强调怀疑与独立思考的重要性. 快五十岁时他在荷兰，瑞典女皇邀他；我们不知笛卡儿瞬间的感觉，只知女皇派 军舰接他上路.以后在黎明前，他为女皇讲习，如渊明为菁青•只叹当时北风凛冽 如湘南的柏林，笛卡儿终于不支，患上肺炎，于次年病逝，何其浪漫！n 维空间结果拾穗：给出向量a, b, c，其中a丄b,b丄c,即a - b二0二b - c，则(a 土 b)丄c,其中丄读作 垂直(orthogonal) 于，土表示+或-.证明：（a 土 b） - c = a - c 土 b - c = 0 土 0 = 0，注意：n维空间不一定要有一般的几何意义，例如给出四维空间的一个点 如在相对论里(a,b, c,d), (a,b,c)可以代表一般空间的点，d代表时间； 如在统计学里 (a,b,c,d) 也可以代表一个人的(高度, 重量，性别，年龄).。