5-2-1-数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版.doc

5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目的1. 理解整除的性质；2. 运用整除的性质解题;3. 整除性质的综合运用．知识点拨一、常用数字的整除鉴定措施1. 一种数的末位能被２或5整除,这个数就能被2或5整除;一种数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除;一种数的末三位能被８或125整除，这个数就能被8或１25整除;２. 一种位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除；一种数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除；3. 如果一种整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被1１整除.4. 如果一种整数的末三位与末三位此前的数字构成的数之差能被7、１1或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.５．如果一种数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数均有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字尚有一种是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是９9的倍数备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数ｃ整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱ａ,ｃ︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数ａ能被数b整除，b又能被数ｃ整除，那么ａ也能被ｃ整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a.用同样的措施,我们还可以得出:性质3 如果数a能被数ｂ与数c的积整除,那么a也能被b或c整除．即如果bc∣ａ，那么b∣a，c∣a.性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣ａ，c∣a,且(ｂ，c）＝１，那么ｂc∣ａ． 　 例如：如果3∣12,4∣12,且（3,4)=1，那么(３×4) ∣1２.性质５ 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么ｂm｜am（m为非0整数）;性质6 　如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除，那么ａc也能被ｂd整除.如果 b|a ，且d｜c ，那么bd｜ac；例题精讲模块一、2、5系列【例 1】 ,要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数?【考点】整除之2、5系列 　 【难度】2星 【题型】填空【解析】 积的最后4个数字都是0，阐明乘数里至少有4个因数2和4个因数５.，,,共有3个5，２个２，因此方框内至少是．【答案】【例 2】 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个持续的0？【考点】整除之2、5系列 　 【难度】4星 【题型】解答【解析】 一方面，50、60、７０、80、90、100中共有7个0.另一方面,5５、６5、８５、95和任意偶数相乘都可以产生一种0，而75乘以偶数可以产生２个0，5０中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，因此一共有个０.【答案】14个持续的0【例 3】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位正好都是零,那么最后浮现的自然数最小应当是多少？【考点】整除之２、5系列 【难度】4星 　 【题型】解答【解析】 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数２和5的个数决定的,有一对2和5乘积末尾就有一种零.由于相邻两个自然数中必然有一种是2的倍数，而相邻5个数中才有一种5的倍数，因此我们只要观测因数5的个数就可以了.，,，,,,……,发现只有25、5０、75、100、……这样的数中才会浮现多种因数5，乘到55时共浮现个因数5,因此至少应当写到55。

答案】5５【例 4】 11个持续两位数的乘积能被３43整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少?【考点】整除之2、5系列 【难度】4星 　【题型】解答【解析】 由于,由于在１１个持续的两位数中,至多只能有2个数是７的倍数,因此其中有一种必须是4９的倍数,那就只能是49或9８.又由于乘积的末4位都是0,因此这持续的11个自然数至少应当具有4个因数５．持续的11个自然数中至多只能有３个是5的倍数,至多只能有1个是2５的倍数，因此其中有一种必须是25的倍数，那么就只能是２5、50或75．因此这11个数中应同步有４9和5０，且除50外尚有两个是5的倍数，只能是40，41，4２，43,44，４５,46,4７,48,49,5０,它们的平均数即为它们的中间项45．【答案】45【例 5】 的成果除以，所得到的商再除以……反复这样的操作，在第___＿次除以时,初次浮现余数.【考点】整除之２、5系列 　【难度】5星　 【题型】填空【核心词】学而思杯，5年级，第７题【解析】 本题其实为求原式成果末尾有多少个持续的.０由5和2相乘得到，最核心在于有多少个５.能整除1次5的数有205,２10,215，220，230，235，240，245,２５５,２60，２６5,27０,280,2８5,290,295共16个，会乘出１6个持续的0;能整除2次5的数有225,27５，300共三个,会乘出6个持续的0；能整除３次5的数有２5０，会乘出3个持续的0。

因此共有个持续的0,则能整除25次10,第26次初次浮现余数答案】次【例 6】 用１～9这九个数字构成三个三位数（每个数字都要用)，每个数都是４的倍数这三个三位数中最小的一种最大是 考点】整除之2、5系列 【难度】4星 　 【题型】填空【核心词】走美杯,决赛，5年级,决赛，第8题,1０分【解析】 三个数都是４的倍数,个位必然都是偶数当个位是2或6时，十位是奇数,当个位是4或8时,十位是偶数由于１～9中只有４个偶数,因此三个数中有两个的个位分别是2和6,另一种的后两位是84或４８由于三个数的百位都是奇数,因此最小的三位数的百位最大是5,(另两个分别是9和７)9已被百位占用,十位最大的是8,因此三个三位数中最小的一种最大是５84注：另两个三位数可以是91２，7３6或93２，716或91６,732或936，712答案】【例 7】 若，试问能否被8整除?请阐明理由. 【考点】整除之2、5系列 【难度】4星　　 【题型】解答【解析】 略【答案】由能被8整除的特性知，只要后三位数能被8整除即可. ,有能被8整除，而也能被8整除,因此能被8整除．模块二、3、9、９9系列【例 8】 在方框中填上两个数字，可以相似也可以不同,使432是9的倍数．　请随便填出一种，并检查自己填的与否对的。

考点】整除之３、９、9９系列 【难度】１星 　 【题型】填空【解析】 一种数是9的倍数，那么它的数字和就应当是9的倍数,即4□３２□是9的倍数，而4329, 因此只需要两个方框中的数的和是９的倍数．依次填入３、6,由于４3326１8是9的倍数，因此4３326是９的倍数答案】4３３2６(答案不唯一）【巩固】 若9位数可以被３整除,则里的数是_____＿_＿_＿【考点】整除之3、9、９9系列 【难度】1星 【题型】填空【核心词】但愿杯，4年级,初赛，2题【解析】 根据题目知:２0+是3的倍数,因此里填1或4或7．【答案】或或【例 9】 一种六位数被3除余l,被9除余4,这个数最小是 　　 考点】整除之3、9、99系列 　【难度】2星　 【题型】填空【核心词】走美杯，4年级，决赛，第2题，8分【解析】 被9除余4的数被3除必余1，因此只需考虑被9除余４这个条件这个数各个数位上的数字之和除以９应余4因此框里面最小是0４，六位数为:204７27．【答案】【例 10】 持续写出从1开始的自然数，写届时停止，得到一种多位数：１……，请阐明：这个多位数除以３，得到的余数是几？为什么?【考点】整除之３、9、9９系列 【难度】2星 【题型】填空【核心词】但愿杯,四年级,复赛，第15题【解析】 由于持续个自然数可以被整除，并且最后一种自然数都是的倍数，由于是的倍数,因此是的倍数,又由于 ，因此除以,得到的余数是。

答案】【例 11】 试阐明一种两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一种新的两位数，则新数与原数的差一定能被９整除. 【考点】整除之3、9、9９系列 　 【难度】2星 　【题型】解答【解析】 略【答案】设本来的两位数为,则新的两位数为. -.由于能被9整除,因此它们的差能被9整除.【例 12】 1１2１３1４…除以９，商的个位数字是_＿_＿_____ 考点】整除之3、９、99系列 　【难度】3星 【题型】填空【核心词】走美杯,初赛，六年级,第5题【解析】 一方面看这个多位数与否能为9整除,如果不能,它除以9的余数为多少由于任意持续的9个自然数的和能被9整除，因此它们的各位数字之和能被9整除，那么把这９个数连起来写,所得到的数也能被9整除由于，因此112１31４…这个数除以9的余数等于（或者１2）除以9的余数，为3．那么1121314…除以9的商,等于这个数减去３后除以9的商，即112１３14…除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为４答案】【例 13】 证明能被6整除,那么也能被６整除. 【考点】整除之3、９、99系列 　【难度】3星　　 【题型】解答【解析】 略【答案】∵∴2|∴2|ｅ∴6|3e∵3|∴３｜a+b+c+ｄ+e∴6｜2（ａ＋b+ｃ+d＋e）∴6|2(a+ｂ＋c+ｄ+e)－3ｅ∴6|2(a+b+ｃ+ｄ）-e【例 14】 试阐明一种5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12367为原序数,那么它相应的反序数为７632１,它们的差是９9的倍数．【考点】整除之3、9、9９系列 　 【难度】4星　　 【题型】解答【解析】 略【答案】设原序数为,则反序数为，则-ﻫ由于等式的右边能被９９整除,因此能被99整除【例 15】 1至9这９个数字，按图所示的顺序排成一种圆圈.请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针顺序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是和）．如果规定剪开后所得到的两个九位数的差能被整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【考点】整除之3、9、99系列　 　【难度】4星 【题型】解答【解析】 互为反序的两个九位数的差，一定能被9９整除．而,因此我们只用考察它能否能被4整除.于是只用观测原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除,显然只有当剪开处两个数的奇偶性相似时才有也许．注意图中的具体数字,有(3,4）处、(８，5)处的两个数字奇偶性均不相似，因此一定不满足．而剩余的几种位置奇偶性相似,有也许满足．进一步验证,有(9，３)处剪开的末两位数字之差为,(4,２)，(2，6),(6,8），（5，7），(7，1)，(1,９)处剪开的末两位数字之差为.,，,，．因此从(9，3),(4,２)，(2,6)，(6，8），(5,7）,(1，9）处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是３96的倍数.(9,３),(4，2)，(２，6）,(6,8）,(５,7),(１，9)处左右两个数的乘积为2７,8，１2，４8,35,９．【答案】27,8,12,４８，35，９【例 16】 六位数能被９9整除，是多少?　【考点】整除之３、9、９9系列 【难度】3星 【题型】填空【解析】 措施一:08被99除商余28,因此能被99整除，商72时，，末两位是2８,所觉得71；措施二:，能被99整除，因此各位数字之和为９的倍数，因此方框中数字的。