光学谐振腔(翻译).pdf

光学谐振腔大多数激光器发射的光都包括有几种分立的光学频率，它们彼此间的频率差 各不相同，从而使光学谐振腔产生不同的模式通常将谐振腔产生的模式分为两 类：纵模和横模 纵模彼此间的差异仅在于它们具有不同的振荡频率；横模彼此 间的差异除了具有不同的振荡频率外，而且在垂直于其传播方向的平面内，场的 分布也不同与一个给定的横模相对应的大量纵模同该横模具有相同的场分布， 但是频率却不同 人们用符号TEMmnq或 TEMplq来描述光学谐振腔内电磁场的变化大写字 母 TEM 表示横向电磁波，前两个下标表示肯定的横模，q 表示纵模因为典型 激光器所有的谐振腔都比激光波长要长得多，所以一般都有很多的纵模因此， 表示腔体轴向模数量的q 的数值非常大 表示横模的下标值却很小， 有事可能只 取前几位整数该值表明了在垂直与轴向的平面内场的变化 激光器的光谱特性， 如谱线宽度和相干长度等， 主要取决于纵模； 而光束发 散角，光束直径和能量分布等则取决于横模一般来说， 如果没有采取特殊的措 施来限制振荡模的数量， 激光器就是多模振荡器 其原因在于这样的事实， 即非 常多的谐振腔纵模都处于激光跃迁的带宽内，而在激活材料的截面内， 可能有很 多横模。

5.1 横模 文献[5.1~5.3]论述了光学谐振腔的模式理论，文献[5.4，5.5]也对这一专题进行了 综合评论 5.11 横模的强度分布 那些在两个反射镜之间来回反射， 其振幅和相位分布保持不变的电磁场才能 存在于光学谐振腔中，这些特殊的场分布形成无源谐振腔的横电磁膜 在直角坐标系中，用符号TEMmn表示横模，整数m,n 表示在水平和垂直方向上 与光轴垂直的强度零节点的数量在圆柱坐标系中，用TEMpl表示横模， p 表示 径向节点数， l 表示角向节点数 m,n，p，l 的数值越大，模的阶数就越高最低 阶模 TEM00模，在它的光轴上有最大的高斯强度分布对于下标为1 或者比 1 大的模，最大的强度值不在对称花样的轴上为了确定振荡模的峰值和节点的位 置，幅度，必须使用高阶厄米多项式或高阶拉盖尔多项式方程应用直角坐标系 时，使用的厄米多项式；应用圆柱坐标系时，则通常采用拉盖尔多项式 在圆柱坐标系中，由下式给出容许的圆对称TEMpl模的径向长度分布：（5.1）式中，Z为光束的传播方向； r, Φ 为垂直于光束方向的极坐标 径向强度分布被归一为 高斯分布的光斑尺寸， 即 w （z）表示高斯光束的光斑尺寸， 其定义为：TEM（00）模的强度为其轴线上峰值的时的半径。

表示 p 阶 l 次广义拉盖尔多项式上式中给出的强度分布是径向部分和角向分布的乘积对于 l=0 的模，不存在角向关系而模花样有p 个同心暗环，每一个暗环对应着一个值为0 的（ρ ）由于因子 exp（- ρ ）的缘故，径向强度分布是衰减的如果l=0，pl 模的中心就是亮点，否则会因为因子而成为暗点 这些模除了在径向上有p 个零点外， 在角向上也有 2l 个节点只有改变光斑尺寸和轴向位置z 的关系，才能改变（pl ） 模的分布但是，对于所有的z 值，模仍然维持电磁场分布的一般形式当w 随 z 增大时，模的横向尺寸也会增大， 所以模花样彼此之间的尺寸保持稳定的比 值 上式中可以确定任何光束的模式的分布下图示出了在激光器的输出光束中， 不同圆柱横模横向强度分布花样注意，模所占有的面积随着模阶数的增加而增 大标有星号的模表示由两个近视模线性叠加而成，其中一个模围绕另一个模的轴旋转例如，标记为 01 的 TEM 模由两个 TEM（01）模组成图 5.1 圆柱形（ a）和矩形（ b）横模花样的示例对于圆柱形模，前后两 个小标分别表示暗环数和花样中的暗带数对于矩形模，两个下标分别表示x,y 方向的暗带数。

只有改变光斑尺寸与轴向位置z 的关系，才能改变 (pl) 模的分布 但是，对 于所有的 z 值，模仍然维持电磁场分布的一般形状当 w随 z 增大时，模的横向 尺寸也会增大，所以模花样彼此之间的尺寸保持稳定的比值 根据式（ 5.1 ）可以确定任何光束模式的分布图5.1 （a）示出了在激光器 的输出光束中， 不同圆柱横模向强度分布花样注意，模所占据的面积随着模阶 数的增加而增大 标有星号的模表示由两个近似模线性叠加而成，其中一个模围 绕另一个模的轴旋转900. 例如，标记为 01*的 TEM 模由两个 TEM 01模组成如果将合适的拉盖尔多项式代入上式（5.1）中，就可以得出上图所示的模的强度分布，即图 5.2 示出了最低阶模和阶数仅高于它的两个横模（即TEM00，TEM01，TEM10）的 强度分布图 5.2 TEM00模，TEM01模，TEM10模的径向强度分布，这些模的半径已归一化为基 模光束半径 w00 在直角坐标系中，模（ m,n）的强度分布由下式给出：（5.2 ）如前文所述， w(z) 是最低阶模的横向强度降到峰值强度的时的光斑尺寸函数为第m 阶厄米多项式例如在一给定的轴向位置点z 处， 强度分布由两个单独的函数x 和 y 之积构成。

矩形横模的花样结构如上图所示数出 图形中 x 和 y 方向上的暗带数目， 就可以确定单模的m,n 的值注意，在这种几 何结构中的基模（ m=n=0）与圆柱形结构中的相同 图 5.1 所示的横模能够以线偏振光束存在，见图5.3 综合两个阶数相同的垂直偏 振模，就可以合成出其他的偏振结构；对于TEM01模，这种情况示于图5.4 5.1.2 高斯光束的特征 激光器输出的具有高斯强度分布的光束称为基模或TEM00模由于其重要性， 在本小节将详细地讨论这种光束高斯光束的场振幅随着距离轴的距离r 的增大 而减小可由下式表示：E(r)= E0exp（） ， （5.3）由此，得到功率密度分布为I(r)=I0exp（2） （5.4）式中，w 为在光学轴上场振幅降至1/e时的径向距离，同时轴上的功率密度也降到，通常将参量 w 称为光束半径或光斑尺寸，而将2w 称为光束直径在半径 r=w,1.5w,2w 的辐射孔径中，高斯光束的功率与总功率的百分比分别为86.5% 如果高斯光束通过半径为3w 的孔，由于阻挡而损失的光束功率就只占% 在以下讨论中，无限大孔径就是指超过3 倍光斑尺寸的孔径如果现在来参考正在传播的高斯光束，发现尽管光束的每个截面上强度分布 都是高斯形， 但是强度分布的宽度却沿着光轴线发生变化。

在相前为平面的束腰 处，高斯光束的直径收缩为最小的2w0如果从束腰处测量z 值，光束的扩展规 律就会表现为一种简单的形式与束腰相距为z 的光斑尺寸以双曲线表示为5.5 ）其渐近线与轴线成 θ/2 角，见图 5.5 ，由此确定出发散光束的远场发散角 基模的最大发散角由下式给出：（5.6）由此可见，当距离很远时， 光斑尺寸随 z 呈线性增大， 而光束以恒定的锥角 θ发散此处最感兴趣的是，在束腰处的光斑尺寸w0越小，发散角就越大 在距离束腰足够远的地方， 光束有一个从束腰的光轴线上的某点发出的球面 波前如果用R（z）表 示与广州 线交于点z 的波前的曲率半径 ，则有（5.7 ）重要的是要注意在高斯光束的波前面上，相位是相同的 有时，用一个特定的共 焦参量 b 来说明 TEM（00）模的光束特性，式中， b 为 W （z）=21/2w0时在束腰两 边的点与点之间的距离（见图5.5 ）5.8 ）在结束高斯光束的讨论之前， 对高斯光束和平面波光束的发散角之间的不同 作一个简要说明激光器输出TEM00模时，根据（ 5.6）可求出光束发散角当 一个平面波前入社到直径为D 的圆孔上时，由夫琅禾费衍射花样的第一个最小值确定的中心圆班的最大锥角为（5.9 ）。