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第九章 投资组合理论7/27/2024投资组合理论内容简介：一、风险资产组合 1、2种风险资产的组合 2、N种风险资产的组合（可行集） 3、最优风险资产组合的确定（有效边界）二、加入无风险资产后 1、资本配置线 2、最优风险资产组合的确定 3、最优资产组合的确定三、资本资产定价模型（CAPM） 1、资本市场线 2、模型的推导 3、解释和应用四、套利定价模型 7/27/2024投资组合理论马柯维茨的资产组合理论F马柯维兹(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端 马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险同时考虑投资的收益和风险，马是第一人当时主流意见是集中投资 马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合获1990年诺贝尔经济学奖。

7/27/2024投资组合理论托宾的收益风险理论F托宾(James Tobin)是著名的经济学家、他在1958年2月The Review of Economic Studies发表文章，阐述了他对风险收益关系的理解 1955-56年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的F他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关这就是说，投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选择而后者应依据马克维茨的模型即无论风险偏好何样的投资者的风险资产组合都应是一样的托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础，也使证券投资的决策分析方法更深入，也更有效率7/27/2024投资组合理论一 、风险资产组合（一）2种风险资产的资产组合假定投资两种风险资产，一是股票D，一是债券E投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例假定投资债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE，rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为 rp= wDrD+wErE E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE)p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECov(rD,rE) 7/27/2024投资组合理论显然如果两资产协方差为负，方差将变小。

由于有 Cov(rD，rE)=ρDEDE 将它代入上面的方差公式，则有： P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρDE A.ρ=1时，可简化为：P2=(wDD+wEE)2 或 P=wDD+wEE 组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值B.当ρ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值C.当ρ=-1时，该式可简化为：P2=(wDD―wEE)2 组合的标准差为： P=|wDD―wEE| 此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0，7/27/2024投资组合理论当ρ=-1时,标准差可以降低到0的资产恰当比例如下：由于需要有： wDD-wEE=0， 所以有：wD = E /(D+E)wE = D /(D+E)=1- wD  以上的三种情形的分析表明，当ρ=1时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果-1ρ＜1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果ρ=-1，在股票的比重为wD = E /(D+E)，债券的比重为1- wD时，组合的标准差为0，即完全无风险。

7/27/2024投资组合理论证券D、E组合在R-平面的映射（组合线）的 形状取决于二证券收益率的相关程度如下图： R E =-1 =0.5 =1 =-0.5 =0 D O 7/27/2024投资组合理论（二）（二）N种风险资产的组合种风险资产的组合一般地，对于3个风险资产A,B,C，可行集合是ABC，比方说，其可能的组合Q可以看做B,C的组合Z，与A的再组合。

如图所示：ABCZσE(r)Q7/27/2024投资组合理论N个资产同样可以组合如图（不考虑卖空）性质性质：可行集合必然是向外凸的用反证法证明！）σE(r)7/27/2024投资组合理论可行集合可行集合：上面所说的是可行集合，即通过改变风险资产的投资比例，所有可能实现的风险资产的组合有效边界有效边界：对于给定期望收益，拥有最小方差的风险资产的组合或者说，对于给定方差，拥有最大期望收益的风险资产的组合结论：有效边界是可行集合的左上边缘思考：为什么？ （根据均值-方差准则而来）7/27/2024投资组合理论（三）没有引入无风险资产的情形下最优风险资产的确定H一句话，没有无风险资产的情形下，最优风险资产组合是有效边界与效用无差别曲线群的切点σE(r)有效边界无差别曲线最优风险资产组合7/27/2024投资组合理论二、引入无风险资产后二、引入无风险资产后（一）资本配置线（一）资本配置线例例题题：：假定风险资产的期望收益为E(rP) =9% ，标准差为P=21%，无风险资产组合F的收益率为rf =3% 风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6%令投资于风险资产的比例为y，投资于无风险资产的比例为（1-y)，整个资产组合C的收益率为rC，那么有：rc=yrp+(1-y)rf H资产组合C的期望收益为：HE(rc)=3%+y(9%-3%)=3%+6%yH资产组合C的风险由于P=21%，有：HσC=yσp=21%y7/27/2024投资组合理论因此因此，资本配置线的方程式为：，资本配置线的方程式为：HE(rc) =3%+(2/7)* =3%+(2/7)* σCPσrf=3%E(rp)=9%σP=21%E(r)7/27/2024投资组合理论资本配置线的意义资本配置线的意义H如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=9%，P=21%。

如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=3%，P=0H从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险 H资本配置线的斜率也称为酬报与波动性比率一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益7/27/2024投资组合理论（二）最优风险组合的确定最优风险组合的确定H在风险组合里增加无风险资产，那么，每种风险组合和无风险资产可以形成资本配置线上面已经提到，资本配置线的斜率大比较好，因此，当资本配置线与有效边界相切的时候最优，切点就是最优风险组合E(r)最优风险资产组合P7/27/2024投资组合理论（三）最优资产配置（三）最优资产配置H上面确定了最优风险资产的组合，即，投资于各种风险资产的适当的比例那么，投资于风险资产组合和无风险资产的比例又应该如何确定呢？H最优风险资产组合和无风险资产形成了一条资本配置线，它与个人的效用无差别曲线群的切点，就是最优的资产配置H个人的风险喜好不同，意味着无差别曲线群不同，切点亦不同，即，个人最优资产配置不同。

7/27/2024投资组合理论无差别曲线群最优风险资产组合最优资产组合资本配置线E(r)7/27/2024投资组合理论H小结：小结：H1、只有风险资产的时候，确定可行集合和有效边界取决于个人对风险资产的期望值和标准差的判断）H2、加入无风险资产后，确定最优风险资产组合H（资本配置线和有效边界的切点）H3、确定最优资产组合H （资本配置线和无差别曲线的切点）H （取决于个人对风险的厌恶程度）H看似简单，其实最优资产组合的确定非常复杂原因很多，比如说效用函数的确定，风险资产的参数估计等H对于风险资产（比如股票），需要估计其方差-协方差矩阵，需要估计的参数是非常庞大的比如有1000只股票，其方差-协方差矩阵是1000×1000矩阵，需要估计500500个参数，计算量及其大这是其局限性也是以下CAPM模型及单因素模型得到发展的动因7/27/2024投资组合理论追加追加追加追加1 1：：最优风险资产组合的确定（最优风险资产组合的确定（最优风险资产组合的确定（最优风险资产组合的确定（2 2种）种）种）种）目目的的是是找找出出w wD D，，w wE E值值，，以以获获得得斜斜率率最最大大的的资资本本配配置置线线。

因因此此，，目目标标函函数就是斜率，即数就是斜率，即S SP P，，有：有：S Sp p=[E(r=[E(rp p)-r)-rf f]/σ]/σp p  只要满足权重和只要满足权重和=1=1，就可以求斜率的最大值，有，就可以求斜率的最大值，有 Max S Max Sp p=[E(r=[E(rp p)-r)-rf f]/σ]/σp p因为因为∑w∑wI I=1=1，将，将[E(r[E(rp p)= w)= wD DE(rE(rp p)+ w)+ wE EE(rE(rE E)])]代入，有代入，有 Max S Max Sp p=[ w=[ wD DE(rE(rp p)+ w)+ wE EE(rE(rE E)-r)-rf f]/σ]/σp p  将将 P P2 2= w= wD D2 2 D D2 2+ w+ wE E2 2 E E2 2+2 w+2 wD Dw wE E D D E EρρE E代入上式，有代入上式，有MaxSMaxSp p=[w=[wD DE(rE(rp p)+w)+wE EE(rE(rE E)-r)-rf f]/[w]/[wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EρρE E] ]用用1-w1-wD D代替代替w wE E ，有：，有：MaxSMaxSp p= =[w[wD DE(rE(rp p)+(1-w)+(1-wD D)E(r)E(rE E)-r)-rf f]/w]/wD D2 2 D D2 2+(1-w+(1-wD D) )2 2 E E2 2+2w+2wD D(1-w(1-wD D) ) D D E EρρE E用用w wD D 对对S Sp p 求导，令导数为零，有求导，令导数为零，有 w wD D={[E(r={[E(rD D)-r)-rf f] ] E E2 2-[E(r-[E(rE E)-r)-rf f]Cov(r]Cov(rD D,r,rE E)}/[E(r)}/[E(rD D)-r)-rf f] ] E E2 2+[E(r+[E(rE E)-)-r rf f] ] D D2 2-[E(r-[E(rD D)-r)-rf f+E(r+E(rE E)-r)-rf f]Cov(r]Cov(rD D,r,rE E)})}w wE E=1-w=1-wD D  7/27/2024投资组合理论追加追加追加追加2 2：：最优资产组合的确定最优资产组合的确定最优资产组合的确定最优资产组合的确定H投资于风险组合的比例是y，无风险资产为（1-y)。

HU=E(r)-0.005σσ2 2H最大化效用，即关于效用函数对y求导等于0H所以，y*=[E(ry*=[E(rp p)-r)-rf f]/ 0.01Aσ]/ 0.01Aσ2 2p p，，7/27/2024投资组合理论例题例题H股票E(rE)为20%，方差为15%，债券E(rD)为10%，方差为10%股票与债券的ρ=-0.5无风险资产收益为6.5%H由于有：Cov(rD，rZ)=ρDEDEH有Cov(rD，rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123H把上例中的数据代入，得到的解为HwD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7%HwE =1-0.46.7=53.3%H这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为HE(rP)=(0.467×10)+(0.533×20)=15.33%H2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(20.4670.533-6.123) =3.39%H这个最优资产组合的资本配置线的斜率为HSP=[E(rB)-rf]/B=(15.33-6.5)/18.4=0.487/27/2024投资组合理论H风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p，H假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为Hy=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2pH= (15.33-6.5)/(0.01×4×3.39)=65.12H H由于风险太小，应将其资产的100%全投向风险资产。

只有A大于261的时候，投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产假定A=300，有H y=(15.33-6.5)/(0.01×300×3.39)=86.82% 1-y=13.12%H H即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的86.82%投向股票与债券，13.12%投向国库券由于债券在风险资产中的比例为46.7%，股票在风险资产中的比例为53.3%，因此，在全部投资资金中应有(46.7%×86.82%=)40.55%投资于债券，(53.3%×86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的13.12%投向国库券7/27/2024投资组合理论三、资本资产定价模型H一、假设和结论一、假设和结论H模型的假设条件：H（1）市场中存在着大量投资者，投资者是市场证券价格的接受者，证券市场是完全竞争的市场；H（2）所有投资者的证券持有的起止期都是相同的；H（3）投资者只在公开的金融市场上投资；H（4）所有的投资者都是理性的，都是风险厌恶者，都寻求投资资产组合的方差最小化；H（5）同质期望：所有投资者对证券的评价和经济形势的看法都一致 H 另外，还假定金融工具是可以无限分割的、无通货膨胀、无交易费用、无税收。

7/27/2024投资组合理论H归纳起来，3大假设：H1、每个投资者同质：即对经济形势以及每个风险资产的预计都是一样的，也就是说，对每个风险资产的期望收益和标准差的预计是一样的H2、每个投资者都是按照马柯威茨的投资组合理论进行投资H3、市场是没有摩擦的H假设条件下的推论：假设条件下的推论：H1、分离定理：、分离定理：H 由于每个投资者同质，也就是说每个投资者的有效集合相同，有效边界也相同通过资本配置线而决定的最优风险资产也是相同的H最优风险资产组合的确定与个人对风险的厌恶程度无关7/27/2024投资组合理论2 2、、上面已经知道每个投资者的最优风险资产组合相同可以证明，市场资产组合就是最优风险资产组合，因此，市场资产组合位于每一投资者的最优资本配置线之上3 3、资本市场线、资本市场线 资本市场线是可能达到的最优资本配置线 (从无风险利率出发通过市场资产组合M的延伸线) 投资者之间的差别只是他们投资于最优风险资产组合与无风险资产的比例不同即最优资产组合的决定不同，它取决于资本市场线与每个人的无差别曲线的切点因而与个人的风险喜好有关）H资本市场线的数学表达式：7/27/2024投资组合理论4 4、资本资产定价模型、资本资产定价模型 个别资产的风险溢价与市场资产组合的相关证券的贝塔系数也成比例关系。

这里，贝塔(β)用来测度由于市场证券收益变动引起的个股收益变动的程度，贝塔的定义为：H βi=[Cov(rI，rM)]/σ2M H贝塔反映了系统风险对个股收益的效应H个别资产的期望收益等于市场的无风险收益率加上个股的风险溢价其数学表达形式为HE(ri)=rf+{[Cov(rI，rM)]/σ2M}[E(rM)-rf]H = rf+βi[E(rM)-rf] H这就是最一般的资本资产定价模型，即CAPM模型其含义是个股的期望收益等于市场的无风险利率加上市场风险溢价乘以反映个股风险溢价与市场风险溢价的系数关系的β值7/27/2024投资组合理论H总结：H由CAPM的假设，H首先，可以推导出：每个投资者的最优风险资产组合相同，都是市场风险资产组合所以有，资本市场线的成立H其次，通过资本市场线，可以推出HCAPM模型资本资产定价模型）7/27/2024投资组合理论二、CAPM模型的推导H（一）资本市场线的推导：（一）资本市场线的推导：H1、所有的投资者均持有市场资产组合：H所有投资者的风险资产组合都是从无风险证券收益率引出的与有效率边界相切的资本市场线的切点。

H2、市场资产组合是最优的风险资产组合：H可由此导出共同基金原理7/27/2024投资组合理论（二）市场风险组合的风险溢价的确定（二）市场风险组合的风险溢价的确定对于投资者i，投资于市场风险组合的权重为yi，投资于无风险资产为（1- yi ）对于所有的投资者，投资于无风险的权重的和为0，即投资于市场风险组合的权重的和是N所以有： 其中，7/27/2024投资组合理论H（三）（三）CAPM的推导的推导H资本市场线的表达式：H下面我们由资本市场线来推导CAPMH不失一般性，我们假设i是市场里面的某种风险资产，我们让i和市场组合M进行再组合，得到组合HH组合H必然在可行集合里面，（为什么？）H那么，组合H的集合（双曲线）经过M点，也必然和资本市场线相切！！意味着，组合H在M点的切线就是资本市场线！！（如图！）H由此，我们如下可以推出CAPM7/27/2024投资组合理论ii和M的组合H7/27/2024投资组合理论组合H的期望收益和方差：(证券I的比例是wi）组合H在M点（ wi =0）的切线的斜率是：7/27/2024投资组合理论H上面是组合H在M点的切线的斜率，它应该等于下面的资本市场线的斜率：H以上2个斜率相等，整理可以得到：7/27/2024投资组合理论（四）（四）（四）（四）CAMPCAMPCAMPCAMP的一般形式的一般形式的一般形式的一般形式H假定有一任意资产组合P，组合P中股票k的权重为wk，k=1,2,…n。

那么，有：H w1E(r1) = w1 rf + w11 [E(rM) – rf]H+ w2E(r2) = w2 rf + w22 [E(rM) – rf]H+ ………………H+ wnE(rn) = wn rf + wnn [E(rM) – rf]H——————————————————H E(rP) = rf +P [E(rM) – rf] H就是CAPM模型的一般形式如果资产组合是市场资产组合时，模型的表达就为：HE(rM) = rf +M [E(rM) – rf]7/27/2024投资组合理论三、CAMP模型的解释和应用（一）（一）（一）（一）CAMPCAMPCAMPCAMP模型的几何表达模型的几何表达模型的几何表达模型的几何表达HCAPM模型实际上就是收益-风险关系，其几何形式就是证券市场线(security market line, SML)7/27/2024投资组合理论（二）证券市场线与资本市场线的比较（二）证券市场线与资本市场线的比较H（1）资本市场线反映的是有效资产组合(市场资产组合与无风险资产构成的资产组合)的风险溢价，是该资产组合标准差的函数，标准差测度的是投资者总的资产组合的风险。

H（2）证券市场线反映的是单个资产的风险溢价是该资产风险的函数，测度单个资产风险的工具不再是该资产的方差或标准差，而是该资产对于资产组合方差的影响程度或贡献度，用贝塔值来测度这一贡献度H（3）在均衡市场中，所有的证券均在证券市场线上 7/27/2024投资组合理论（三）（三）CAMPCAMP模型的意义与运用模型的意义与运用（1）CAPM模型中的阿尔法H 股票实际期望收益同正常期望收益之间的差，称为阿尔法 (Alpha)，记为2）CAPM模型的意义H 投资基金的资产组合H 市场均衡时，没有一只股票会比另一只股票更有吸引力因此，投资者应持有所有的股票 （3）CAPM模型与资产组合理论的关系H资产组合理论是已经确定投资的具体的股票债券、也已经知道股票债券之间的相关系数的情况下，确定购买它们的比例 HCAPM模型可算出股票的期望收益，通过与该股票在市场中实际收益的比较，确定哪些股票具有投资价值4）CAPM模型的局限性 H需要构造市场资产组合 H模型反映的是各种期望收益之间的关系 7/27/2024投资组合理论。