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弦理論中的快子凝聚 文文/林豐利林豐利 摘要摘要 本文介紹了近來弦理論中有關快子凝聚的發展簡史，基本概念，研究動機、以及最新的研究 進展 I I. .源起源起 快子凝聚(Tachyon Condensation)是最近幾年來弦理論的一個重要的研究課題有趣的是其他弦理論課題的進展通常是在美國發起，由多組研究人員在短時間之中共同參與，達成盛況，然後曲終人散快子凝聚一開始卻只由Ashoke Sen 一個人在印度經過一年多(1998-1999，當時大多數的弦理論學家的心思都放在對著名的AdS/CFT全像對偶的理解上) 的獨立研究，確立了快子凝聚研究的基本架構，之後才有其他人(主要是芝加哥學派)結合了1999-2000 弦理論中有關非交換幾何孤立子(Noncommutative Solitons)的研究進展，闡明了D-brane 的荷(Charge) 和數學上的K-理論之間的關聯，然後促成了停滯十幾年的弦場論(String Field Theory)研究的第二春最近Sen 和 Strominger 等人又把時變(time dependent)的弦理論研究放在快子凝聚的框架下，分別引進滾動快子(Rolling Tachyon)和類空膜(Spacelike brane)的新概念，促成了對時變弦理論的研究熱潮，也引發了對快子凝聚在宇宙學中的應用的探討，尤其透過十年前二維弦理論(2-dimensional String Theory)和老矩陣模型(Old Matrix Model)的對偶性(Duality)的精確研究，希望滾動快子的概念能有助於理解宇宙大爆炸奇點的性質。

綜觀快子凝聚的研究從1998到2003已經邁入第五個年頭，這在課題研究新陳代謝特別快的弦理論發展史上，可說是個異數，尤其當中高潮迭起，左右逢源，雖深思熟慮如 Ashoke Sen始做快子凝聚者，也應當是始料所未及啊！ 如今回顧起來，快子凝聚研究所以比較長壽，是因為弦理論在過去十年來雖然取得了許多形式上的進展，譬如各種各樣的對偶性，但對於動力學的研究相對而言是比較少的， 快子凝聚則提供了研究動力學的窗口以測試弦理論的威力，從而逐漸吸引弦理論學家的興趣 II.II.快子快子 所謂快子(Tachyon)，就是在理論的粒子能譜中有虛質量(Imaginary mass)的粒子，在早期的發現中，以為這樣的粒子跑的比光束快，所以命名為快子不過這是一個錯誤的理解，快子其實是個不穩定的粒子，一般的自由標量粒子(free scalar particle)的運動方程是所謂的 Klein-Gordon方程，如果粒子的質量是正實數，那麼運動方程的解是正弦波，如果質量是純虛數(pure imaginary)，則解是指數形式，會隨著時間衰減或發散如果快子和理論中的其他有質量的粒子偶合(coupling)，那麼這些粒子會衰變成快子，因為快子的質量最低(實部為零) 。

所以嚴格來說，一個理論如果包含快子，那麼這個理論在物理上並不是一個基本理論(fundamental theory)，因為不存在一個穩定的基態(ground state)，有所謂的真空不穩定性(Vacuum Instability) 快子凝聚則是描述這個不穩定真空衰變的過程 如果不是作為一個基本理論來對待， 而是在模型中選擇特別的位勢(scalar potential)所造成的快子，在這樣的情況下， 理論的假真空(false vacuum)和真真空(true vacuum)已經由位勢所決定，所以不會造成理論上的困擾， 一般的量子場論已經足夠用來描述理論模型由假真空衰變到真真空的快子凝聚過程 最有名的例子之一就是粒子物理的標準模型(Standard model of Particle Physics) 中的Higgs 粒子，由於它所處的不穩定真空所引發的自發性破缺(Spontaneous Symmetry Breaking) ，使得 Higgs 粒子的真空期望值(vacuum expectation value) 在物理的真真空中(即我們目前所處的真空)像相變中的序參數(order parameter)一樣取得非零的值，從而給出其他基本粒子的質量。

當然，更基本的問題是如何由基本理論決定Higgs位勢 另外一個非常極端的例子是26 維的玻色閉弦理論(Bosonic Closed String Theory)， 它是一個數學上自洽的理論，但由於能譜中有快子存在，所以並不被當作一個基本的物理理論來對待 在這裡快子的位勢不是由模型給出，而是必須由理論本身自洽性地得到，所以人們事先並不知道真真空是什麼 而且閉弦理論的能譜包含重力與時空，所以真空的衰變並不是侷限於一般量子場論上的意義，而是隱含着時空的衰變.這是一個超越廣義相對論的問題，到目前為止並沒有一個直覺上的理解，因此人們有許多猜想有人說閉弦的真真空是一個拓樸態(topological state)，有人則說是10維的超弦理論，然而這些猜想都沒有嚴格的理論根據 儘管如此，閉弦的快子凝聚仍然是一個有趣和充滿挑戰性的問題 III.III.快子凝聚快子凝聚 Ahsoke Sen 所發起的快子凝聚研究是在開弦理論(Opens String Theory)中來探討的 開弦理論是用來描述Polchinski所發現的D-膜(D-brane)上的物理什麼是D-膜呢？ 簡單的說，就是時空中類似孤粒子(solitons)的類時超曲面(timelike hypersurface) ， 而開弦的兩個端點則附著在這個曲面上，並且可以在上面自由運動。

這樣的開弦端點在垂直於曲面的方向上遵守的是Dirichlet 邊界條件，所以叫做D-膜 與閉弦不同， 開弦能譜的無質量粒子中並不包含重力， 而是規範場 另外由於D-膜的曲面自發破壞了垂直方 向 的 平 移 不 變 性 , 所 以 有 相 對 應 的Nambu-Goldstone 波色激發來描述它的振動 整個來說， D-膜的低能理論是一個規範場論(Yang-Mills gauge theory) ，一般場論中的孤立子缺少基本理論來描述它自身的動力學，而D-膜不同，他的動力學是由規範場論或開弦理論來描述，所以人們很容易理解它 一般來說， 有兩大類D-膜， 如果它和時空的超對稱結構相一致，那它就是穩定的，否則就是不穩定的不穩定的D-膜和穩定D-膜的差別在於前者的能譜中包含快子，後者則無這個快子的凝聚過程則是用來描述不穩定D-膜的衰變過程 也許有人要問D-膜不是帶有荷麼？ 那麼D-膜衰變後消失不見，荷也跟著不見，這樣一來不是違反荷的守恆律嗎？ 然而D-膜和一般的帶荷元激發(charged elementary excitations)不同，它本身也帶有規範場， 所以不是一般的拓樸荷(topological charge)，不能用上同調類(cohomology class)來分類，而是像Witten (1998,2000)所主張的必須用數學上的K-理論來分類，所以D-膜的荷並不滿足一般的荷守恆律，而 是 必 須 同 時 考 慮 荷 所 帶 的 場 ( 一 般 稱 做Ramond-Ramond場或簡稱RR場)與其他場，譬如快子場、規範場以及重力場等的交互作用。

IV. Sen IV. Sen 的猜想的猜想(Conjectures)(Conjectures) 所有快子凝聚理論首先要問的問題是真真空是什麼？ Ashoke Sen 首先提出對這個問題解答的猜想 他認為不穩定D-膜的真真空就是閉弦的真空， 也就是當D-膜衰變後， D-膜消失不見， 導致開弦的激發或規範場也將禁閉(confinement)而消失不見 更進一步，如果堅持開弦理論在真真空附近仍然是個有效理論，那麼原來閉弦的元激發可以看做是開弦理論的束縛態 這是一個很大膽的猜想， 說白一點， 重力可以看作是規範場論的束縛態， 雖然在弦理論中有許多證據顯示，規範場和重力場是一體的兩面，互為對偶，然而也沒有直接的論證來說明這個事實所以到目前為止， 從開弦的快子凝聚理論中建構出閉弦的元激發仍然是一件沒有解決但深具挑戰性的工作類似的難題也出現在量子色動力學中(Quantum Chromodynamics，QCD)如何了解夸克禁閉(quark confinement)，從而導出束縛態，也就是強子(hadron)的動力學所以了解開弦禁閉和了解夸克禁閉是可以互為啟發的，這也是弦理論家Gross所一直強調的觀點。

Sen 的第一個猜想讓開弦理論的快子凝聚擺脫了類似閉弦快子凝聚中有關真真空性質的困擾， 而來到比較接近場論Higgs粒子的情況接下來就是如何從理論中決定出快子的位勢(tachyon potential) ，相同的問題也出現在Higgs粒子的情況中 雖然Higgs粒子的位勢是由模型人為給定的，但這個位勢會得到圈圖(loop diagrams)的量子修正，而這個修正和Higgs粒子與能譜中其他粒子的偶合大小有關 所以某種意義上， Higgs粒子的有效位勢(effective potential)也是由理論自洽地決定出來 然而和量子場論不同的是：弦理論的元激發有無窮多個，所以要得到快子的有效位勢必然要考慮到快子和無窮多個元激發 的偶合 這在 一般弦 理論 的微擾 論(perturbation theory)中是無法辦到的，因為在微擾論中快子和其他元激發的偶合不是像場論中是由一個基本作用量(fundamental action)給出的，而是由微擾論一階一階決定出來的另外在快子凝聚的過程中，由於快子與其他粒子的交互作用，使得它不再遵守弦微擾論的運動方程(或稱做離殼，off-shell)，這也使得弦微擾論無用武之地。

仔細想來，唯一派得上用場的是十幾年前為實現弦理論二次量子化(second quantization of string theory)所提出來的弦場論(String Field Theory， SFT) 弦場論是個很複雜的理論 ， 每個弦場(String field) 包含有無窮多個弦的元激發，所以一般的計算都非常冗長 在進一步探討弦場論之前，我們必須先問在討論快子凝聚時弦場論可以做什麼？ 或者，就算是我們由弦場論中得到了快子的有效位勢，我們如何判斷答案是正確的呢？ 一般的科學理論都是可以經過實驗或觀測來否證(falsify)或確立之 由於弦理論在目前沒有辦法這樣做，所以必須設想一些物理情況來檢證理論的結果 於是 Sen又提出第二個猜想，這個猜想是基於能量守恆原理：真假真空之間的能量落差必須等於D-膜本身的質量 這個猜想是一個很理想化的假設，譬如它忽略了時空由於快子凝聚的過程中放出來輻射所造成的反作用力(back reaction)，當然，這些效應是與弦的偶合常數(string coupling constant)成正比，如果偶合很弱，即可忽略，如此一來，弦場論所得到的結果便可用來與Sen的猜想做比較。

Sen 的最後一個有關快子凝聚的猜想是不穩定的D-膜除了衰變到真真空外，也可以衰變到比它低維的穩定D-膜或不穩定D-膜這些低維的D-膜對應到原來的D-膜的開弦理論中的拓樸解(topological solution)， 譬如所謂的 kink， 或者孤立子解(soliton solution) V. Witten V. Witten 的立方弦場論的立方弦場論(Cubic SFT)(Cubic SFT) 一般而言，並沒有任何第一原理可以用來寫下弦場論的基本作用量，這樣的窘境在閉弦理論尤其明顯在這種情況下，從物理的美學出發，簡單(simplicity)是唯一的要求 儘管如此，到目前為止沒有人能夠寫下一個簡單的閉弦場論的基本作用量 這也許不只是一個技術上的難題，如前所述，波色閉弦理論並沒有一個確知的物理真真空相對於此， Witten 則在1989年寫下了一個簡單的開弦弦場論基本上，弦場論中的交互作用項必須能夠描述兩根弦結合產生第三根弦，。