小学五年级奥数_数论之同余问题.doc

一、带余除法的定义及性质：一般地,如果a是整数,b是整数〔b≠0,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式这里：<1>当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商<2>当时：我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系并且可以看出余数一定要比除数小二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数例如：23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。

例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为：a≡b < mod m >,左边的式子叫做同余式同余式读作：a同余于b,模m由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b < mod m >,那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|三、弃九法原理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作"弃九法"所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题四、中国剩余定理：1.中国古代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题："今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？"答曰："二十三。

"此类问题我们可以称为"物不知其数"类型,又被称为"韩信点兵"韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……刘邦茫然而不知其数 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945〔注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积,然后再加3,得9948〔人 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理中国剩余定理〔Chinese Remainder Theorem在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位2.核心思想和方法：对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。

先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的"下一个"倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,其中k是从1开始的自然数也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数例如对上面的问题加上限制条件"满足上面条件最小的自然数",那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件"满足上面条件最小的三位自然数",我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128例题精讲：[模块一：带余除法的定义和性质]【例 1】 <第五届小学数学报竞赛决赛>用某自然数去除,得到商是46,余数是,求和．【解析】 因为是的倍还多,得到,得,所以,．【巩固】 <清华附中小升初分班考试>甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】 <法1>因为 甲乙,所以 甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．<法2>将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做：从中减掉以后,就应当是乙数的倍,所以得到乙数,甲数．【巩固】 一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

解析】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即"不整除问题"转化为整除问题方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个"除数与余数的差",也可以得到一个除数的倍数本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.【例 1】 <年全国小学数学奥林匹克试题>有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是多少？【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由"和倍问题"可得：除数=〔2083-13÷〔17+1=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少？【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数分别是856,21.【例 2】 <2000年"祖冲之杯"小学数学邀请赛试题>三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______。

解析】 设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数分别是,,巩固】 <2004年XX市"迎春杯"小学数学竞赛试题>一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】 设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为例 3】 <1997年我爱数学少年数学夏令营试题>有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】 一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】 因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于,并且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．[模块二：三大余数定理的应用]【例 4】 有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．,,,的约数有,所以这个数可能为。

巩固】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】 <法1>,,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；<法2>由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．,,,所以这个数是．【巩固】 在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?<余数可以为0>【解析】 我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次． 1～198之间只有1,2,3,…,17,198<余O>这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】 <2008年仁华考题>一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少？【解析】 设这个三位数为,它除以17和19的商分别为和,余数分别为和,则．根据题意可知,所以,即,得．所以是9的倍数,是8的倍数．此时,由知．由于为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54．当时,,而,所以,故此时最大为；当时,,由于,所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．【例 5】 两位自然数与除以7都余1,并且,求．【解析】 能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,满足题目要求,【巩固】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数,所求答案为17．【巩固】 <2000年全国小学数学奥林匹克试题>在除13511,13903及14589时能剩下相同余。