第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=ax-x,且f'(4)=12,则a的值等于( ) A.14 B.52 C.1 D.34解析由已知得f'(x)=a-12x,因此有f'(4)=a-124=12,解得a=34.答案D2.曲线y=xx-2在点(1,-1)处的切线方程为( )A.2x+y-1=0 B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0 D.2x+y-3=0解析由于y'=-2(x-2)2,所以切线斜率k=-2(1-2)2=-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案A3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( )A.(1,0) B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4)解析依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故P0点的坐标为(1,0),(-1,-4),故选C.答案C4.函数f(x)=2ln x-x-3x的单调递增区间是( )A.(-1,3) B.(0,3)C.(3,+∞) D.(3,+∞)和(-∞,-1)解析f'(x)=2x-1+3x2=-x2+2x+3x2,令f'(x)>0,解得-10,g(x)=6x2-2x+1中Δ=-20<0,所以g(x)>0恒成立,故f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域内单调递增,无极值点.答案A6.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)( )A.在(-∞,0)内为减函数B.在x=0处取极小值C.在(4,+∞)内为减函数D.在x=2处取极大值解析在(-∞,0)内,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,0)内为增函数,A错;在x=0处,导数由正变负,f(x)由增变减,故在x=0处取极大值,B错;在(4,+∞)内,f'(x)<0,f(x)为减函数,C对;在x=2处取极小值,D错.答案C7.已知函数f(x)=16x3-12ax2-bx(a>0,b>0)的一个极值点为1,则ab的最大值为( )A.1B.12C.14D.116解析f(x)=16x3-12ax2-bx(a>0,b>0),可得f'(x)=12x2-ax-b,因为函数f(x)的一个极值点为1,所以f'(1)=0,即12-a-b=0,即a+b=12.所以ab≤a+b22=116,当且仅当a=b=14时等号成立,所以ab的最大值为116.故选D.答案D8.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1解析∵y'=aex+lnx+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.答案D9.若不等式2xln x≥-x2+ax对x∈[1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(-∞,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析由2xlnx≥-x2+ax,x∈[1,+∞),可知a≤2lnx+x.设h(x)=2lnx+x,x∈[1,+∞),则h'(x)=2x+1>0,所以函数h(x)在[1,+∞)内单调递增,所以h(x)min=h(1)=1,由题可知a≤h(x)min=1,故a的取值范围是(-∞,1].故选B.答案B10.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)内的函数,其导数为f'(x),且满足f'(x)-f(x)=-exx2,又f(1)=e,则函数f(x)在定义域(0,+∞)内( )A.有极大值 B.有极小值C.单调递增 D.单调递减解析由f'(x)-f(x)=-exx2可得f'(x)-f(x)ex=-1x2,即f(x)ex'=-1x2,于是f(x)ex=1x+c,其中c为常数.又因为f(1)=e,所以ee=1+c,故c=0,从而f(x)=exx.于是f'(x)=ex(x-1)x2,令f'(x)=0得x=1,且当01时,f'(x)>0,故函数f(x)在定义域(0,+∞)内有极小值.答案B11.若函数f(x)=x3-3x-1对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是( )A.20 B.18 C.3 D.0解析f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1,所以-1,1为函数f(x)的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=-19.由题设,知在区间[-3,2]上,f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.故选A.答案A12.定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是( )A.(0,e] B.(0,e)C.0,1e D.0,1e解析因为f'(x)=1+1x,故设f(x)=x+lnx+C,因为f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)内有解.令g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)内为增函数;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)内为减函数;故g(x)max=g(e)=1e,所以00,所以由f'(x)>0,得x<0或x>2a,由f'(x)<0,得00,解得a=12.答案1214.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则f'(-3)f'(1)= . 解析f'(x)=3ax2+2bx+c,结合图象可得x=-1,2为导函数的零点,即f'(-1)=f'(2)=0,故3a-2b+c=0,12a+4b+c=0,解得a=-c6,b=c4,故f'(-3)f'(1)=27a-6b+c3a+2b+c=-5.答案-515.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数y1=17x2,生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数y2=2x3-x2,已知x>0,为使利润最大,应生产 千台. 解析由题意,利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0).y'=36x-6x2,由y'=36x-6x2=6x(6-x)=0,解得x=6或x=0(舍去),当x∈(0,6)时,y'>0,当x∈(6,+∞)时,y'<0.所以函数在(0,6)内为增函数,在(6,+∞)内为减函数.则当x=6时,y有最大值,即生产6千台时,利润最大.答案616.设函数f(x)=2ln x-12mx2-nx,若x=2是f(x)的极大值点,则m的取值范围为 . 解析函数定义域为(0,+∞).f'(x)=2x-mx-n,依题意有f'(2)=1-2m-n=0,即n=1-2m.于是f'(x)=2x-mx+2m-1=-(x-2)(mx+1)x,若m≥0,显然x=2是f(x)的极大值点,满足题意;若m<0,则应有-1m>2,解得m>-12.综上,m的取值范围为-12,+∞.答案-12,+∞三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3-2x2+ax-1,且f'(1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线f(x)在x=-1处的切线方程.解(1)因为f(x)=x3-2x2+ax-1,所以f'(x)=3x2-4x+a.因为f'(1)=1,所以3×12-4×1+a=1,解得a=2.故f(x)=x3-2x2+2x-1.(2)由(1)知f'(x)=3x2-4x+2,所以曲线f(x)在x=-1处的切线斜率k=f'(-1)=9,又f(-1)=-6,因此切线方程为y+6=9(x+1),即9x-y+3=0.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-x2-ax的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)若函数g(x)=f'(x)-1x,求g(x)在(0,+∞)内的极值.解(1)因为f'(x)=ex-2x-a,所以f'(0)=1-a.于是由题知1-a=2,解得a=-1.因此f(x)=ex-x2+x,f(0)=1,于是1=2×0+b,解得b=1.(2)由(1)得g(x)=f'(x)-1x=ex-2xx=exx-2,所以g'(x)=ex(x-1)x2,令g'(x)=0得x=1,当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下:x(0,1)1(1,+∞)g'(x)-0+g(x)单调递减↘极小值单调递增↗所以g(x)在x=1取得极小值g(1)=e-2,无极大值.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-x+c.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)有三个零点,求实数c的取值范围.解(1)因为f(x)=x3+x2-x+c,故f'(x)=3x2+2x-1,由f'(x)>0,得x<-1或x>13,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和13,+∞;(2)由(1)知,f(x)在x=-1处取得极大值1+c,在x=13处取得极小值-527+c,因为函数f(x)有三个零点,所以1+c>0,-527+c<0,解得-10),f'(x)=-lnxx2,当00;当x>1时,f'(x)<0,∴f(x)。
