第九讲 环形跑道(师).doc

精品专题课程小升初奥数第九讲环形跑道问题1、 课堂引入 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键二、典例解析【例题1】【题干】张磊和王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.王亮的速度是180米/分.（1）张磊和王亮同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，张磊的速度是多少米/分？（2）张磊和王亮同时从同一点出发，同一方向跑步，张磊跑多少圈后才能第一次追上王亮？【答案】：解：（1）5001－200=300（米/分）． （2）500(300－200)=5（分） 3005500=3（圈）．【解析】：⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．张磊的速度是5001－200=300（米/分）．⑵在环形的跑道上，张磊要追上王亮，就是张磊比王亮多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是： 500(300－200)=5（分） 3005500=3（圈）．【活学活用1】【题干】淘气和笑笑在周长为800米的环形跑道上进行长跑。

淘气的速度是40米/分，笑笑的速度是60米/分1）淘气和笑笑同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？（2）淘气和笑笑同时从同一地点出发，同一方向跑步，笑笑跑几分钟能第一次追上淘气？【答案】：解：（1）800（60+40）=48分） （2）800（60-40）=40（分） 【活学活用2】【题干】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走（一个顺时针，另一个逆时针），他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长. 【答案】：解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是803＝240（米）. 240-60=180（米）. 1802＝360（米）.【例题2】【题干】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。

在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇问：这个花圃的周长是多少米？【答案】：解：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）【解析】：我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰活学活用1】【题干】小小、乐乐、欢欢三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发小小按顺时针方向行走，乐乐与欢欢按逆时针方向行走小小第一次遇到乐乐后1分钟于到欢欢，再过3分钟第二次遇到乐乐已知乐乐的速度是小小的，湖的周长为600米，求欢欢的速度答案】解：小小第一次与乐乐相遇后到第二西与乐乐相遇，刚好共行了一圈小小、乐乐的速度和为600（1+3）=120米/分小小、乐乐的速度分别是：120（1+）=72（米/分），120—72=48（米/分）。

小小、欢欢的速度和为600（1+3+1）=96（米/分），欢欢的速度：96—72=24（千米/分） 【活学活用2】【题干】一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？【答案】：解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置. 开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米.30（5-3）＝15（秒）.因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90（5-3）＝45（秒）.所以，B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，60，105，150，195，……再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后30（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要90（10-5）＝18（秒），A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，60，78，96，…对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.【例题3】【题干】小悦、淘淘两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。

他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，淘淘的速度是小悦的，小悦跑第二圈时的速度比第一圈提高了，淘淘跑第二圈时速度提高了已知小悦、淘淘两人第二次相遇点距第一次相遇点190米这条椭圆形跑道长多少米？【答案】：解：1：=3：2 232=1 [3（1+）：2]=2：1 （3—1）2=3 [3（1+）]：[2（1+）]=5：3 （5—3）= 190（3-）5=400（米）【解析】：根据题意画图34-2：甲、乙从A点出发，沿相反方向跑，他们的速度比是1：=3：2第一次相遇时，他们所行路程比是3：2，把全程平均分成5份，则他们第一次相遇点在B点当甲A点时，乙又行了232=1这时甲反西肮而行，速度提高了甲、乙速度比为[3（1+）：2]=2：1，当乙到达A点时，甲反向行了（3—1）2=3这时乙反向而行，甲、乙的速度比变成了[3（1+）]：[2（1+）]=5：3这样，乙又行了（5—3）=，与甲在C点相遇B、C的路程为190米，对应的份数为3—=2【活学活用1】【题干】甲、乙两车同时从A点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)【答案】：　解：第一次是一个相遇过程，相遇时间为：6（65+55）=0.05 小时，相遇地点距离A点：550.05=2.75千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：6（65-55）=0.6 小时，乙车在此过程中走的路程为：550.6=33 千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点3-2.75=0.25 千米．此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25+2.75=3千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同．所以，每4次相遇为一个周期，而114=2…3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3000米．【活学活用2】【题干】淘气和笑笑分别从佳园和海堡坐车同时出发相向而行。

第一次相遇在离佳园60千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进淘气和笑笑分别到达海堡和佳园后均立即返回，结果他们在离海堡20千米的地方相遇求佳园和海堡之间的距离【答案】 解：第一次相遇，二车共行一个全程，甲车行：60千米 第二次相遇，二车共行三个全程，则甲应该行：360=180千米 实际上甲行一个全程再加上20千米 所以全程距离是：180-20=160千米 【例题4】【题干】一个游泳池长90米甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回找这样往、返游，两人游10分钟已知甲每秒游3米，乙每秒游2米在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？【答案】：17次 【解析】：设甲的速度为a，乙的速度为b，a：b的最简比为m：n，那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程若m＞n，且m、n都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了2m次；若m＞n，且m为奇数（或偶数），n为偶数（或奇数），在半个周期末甲、乙同时在乙（或甲）的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（2m—1）次甲速：乙速=3：2，由于3＞2，且一奇数一偶数，一个周期 内共相遇（23—1=）5次，共跑了[（3+2）2=]10个全程。

10分钟两人合跑周期的个数为：6010[90（2+3）10]=3（个）3个周期相遇（53=）15（次）；个周期相遇2次一共相遇：15+2=17（次）【活学活用1】【题干】甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练从池的一端到另一端甲要3分钟，乙要3.2分钟两人下水后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？【答案】解：设一个全长是单位"1",甲的速度是1/3,乙的速度是1/3.2,则在一个全长上甲乙相遇需要的时间是1/(1/3+1/3.2)=48/31(分钟).从开始到第一次相遇,甲乙一共走了一个全长,所用的时间是48/31分钟；以后每次相遇甲乙一共都需要走两个全长（不管出发地点在哪儿,相遇地点是在哪儿）,速度不变,时间自然是之前的两倍,为96/31分钟.所以,总共48分钟里,除去开始的48/31分钟,剩下的按96/31分钟一份一份的分,看能分出几份就相遇了几次.总共相遇次数=1+[(48-48/31)/(96/31)]=1+[15]=1+15=16(次)【例题5】【题干】在400米环行跑道上，A，B两点相距100米甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。

那么甲追上乙需要多少秒？【答案】【解析】【活学活用1】【题干】绕湖的一周是24千米，张飞和王强从湖边某一地点同时出发反向而行王强以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，张飞以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟两人出发多少时间第一次相遇？【答案】：解：张飞的速度是每小时6千米，50分钟走5千米，我们可以把他们出发后的时间与行程列出下表：王强时间1小时5分2小时10分3小时15分行程4千米8千米12千米张飞时间1小时2小时3小时行程5千米10千米15千米12+15=27，比24大，从上表可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间出发后2小时10分，张飞已走了10+5（5010）=11（千米），此时两人相距24—（8+11）=5（千米）由于从此时到相遇以不会再休息，因此共同走完这5千米所需的时间是5（4+6）=0.5（小时），而2小时10分+0.5小时=2小时40分张飞50分钟走的路程：66050=5（千米）张飞2小时10分后共行的路程：10+5（5010）=11（千米）两人行2小时10分后相距的路程：24—（8+11）=5（千米）两人共同行5千米所需时间：5（4+6）=0。