数学经典例题集锦数列(含答案).docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑数学经典例题集锦数列(含答案) 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列得志 （1）求a2,a3； 3n?1an?2. （2）证明： 2解：（1）?a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13. n?1a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1) ?a1?3 n?1?3n?23n?13n?1???3?1?an?2， 所以证得2. 例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式； a?1,22b3,a3?b（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b成等比数列，求Tn. 解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)， 又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3的等比数列 ∴an?3n?1 （Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5 故可设b1?5?d,b3?5?d，又a1?1,a2?3,a3?9， 2由题意可得(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)，解得d1?2,d2?10 ∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2 ∴ 2例题3. 已知数列?an?的前三项与数列?bn?的前三项对应一致，且a1?2a2?2a3?... Tn?3n?n(n?1)?2?n2?2n2 ?2n?1an?8n对任意的n?N*都成立，数列bn?1?bn是等差数列. ⑴求数列?an?与?bn?的通项公式； ?⑵是否存在k?N，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由. n?12n?12an??a?2a?2a?...?2a?8n23n点拨：（1）1左边相当于是数列前n项和的形式， ??可以联想到已知Sn求an的方法，当n?2时，Sn?Sn?1?an. - 1 - （2）把bk?ak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk?ak的取值处境. 2n?1解：（1）已知a1?2a2?2a3???2an?8n(n?N*）① 2n?2n?2时，a1?2a2?2a3???2an?1?8(n?1)(n?N*）② 4?nn?1a?22a?8nn①－②得，，求得， 在①中令n?1，可得得a1?8?24?n4?1， 所以an?2(n?N*）. 由题意b1?8，b2?4，b3?2，所以b2?b1??4，b3?b2??2， ∴数列{bn?1?bn}的公差为?2?(?4)?2， ∴bn?1?bn??4?(n?1)?2?2n?6， bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)???(bn?bn?1) 24?k（2）bk?ak?k?7k?14?2， ?(?4)?(?2)???(2n?8)?n2?7n?14(n?N*）. 77f(k)?(k?)2??4?k242单调递增，且f(4)?1， 当k?4时， 所以k?4时，f(k)?k?7k?14?2又f(1)?f(2)?f(3)?0， 24?k?1， 所以，不存在k?N*，使得bk?ak?(0,1). 例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}得志：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵ an、bn为正数， 由②得an?1?bnbn?1,an?2?bn?1bn?2， bn?bn?2 ， 92 ， 代入①并同除以bn?1得： 2bn?1?∴ {bn}为等差数列 ∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， 2a2?b1b2,那么b2?92(n?1)2bn?2?(n?1)(?2)?(n?1),?bn?222 ， ∴ n(n?1)an?bnbn?1?2∴当n≥2时，， n(n?1)an?2又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴ 2. 研究前n项和的性质 例题5. n已知等比数列{an}的前n项和为Sn?a?2?b，且a1?3. - 2 - （1）求a、b的值及数列{an}的通项公式； nbn?an，求数列{bn}的前n项和Tn. （2）设 解：（1）n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1n?1?a.而{an}为等比数列，得a1?21?1?a?a， 又a1?3，得a?3，从而an?3?2.又?a1?2a?b?3,?b??3. nn123nbn??T?(1?????)n?1n2n?1a3?2n3222（2）， 11123n?1n11111nTn?(?2?3???n?1?nTn?(1??2???n?1?n)2322222） ，得232222， 11?(1?n)22?n]?4(1?1?n)Tn?[31?12n32n2n?12. 1例题6. 数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}得志 1bk?(lga1?lga2???lgak)*(k?N)， k （1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn. 的等差数列， ∴ 4?na?10解：（1）由题意：n，∴lgan?4?n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为?1?lga1?lga2???lgak?3k?k(k?1)1n(n?1)7?nbn?[3n?]?2，∴n22 ?bn?021?S?S?672. 由?bn?1?0，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为 （2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0， 7?n3?2)n??1n2?13nSn??b1?b2???bn?(244 ∴当n?7时，当n?7时， 2Sn??b1?b2???b7?b8?b9???bn?2S7?(b1?b2???bn)?4n?4n?21 ?1213?n?n(n?7)??4Sn???4?1n2?13n?21(n?7)?4?4∴. 113 例题7. 已知递增的等比数列{an}得志a2?a3?a4?28，且a3?2是a2，a4的等差中项. （1）求{an}的通项公式an；（2）若 bn?anlog1an，S?b?b???b求使 n12n2- 3 - Sn?n?2n?1?30成立的n的最小值. 解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由 1a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=2∴an=2·2 （n－1） （舍） =2n 2（2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n） ∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2， 若Sn+n ·2n+1＞30成立，那么2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5. bn?anlog1an??n?2n *例题8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且?1,Sn,an?1成等差数列，n?N,a1?1. 函数f(x)?log3x. （I）求数列{an}的通项公式； （II）设数列{bn}得志 bn?1(n?3)[f(an)?2]，记数列{bn}的前n项和为T，试对比 n 52n?5Tn与?12312的大小. 解：（I）??1,Sn,an?1成等差数列，?2Sn?an?1?1① 当n?2时，2Sn?1?an?1②. a?n?1?3.①－②得：2(Sn?Sn?1)?an?1?an，?3an?an?1，an 当n=1时，由①得?2S1?2a1?a2?1， 又a1?1,?a2?3,? a2?3,a1 ?{an}是以1为首项3为公比的等比数列，?an?3n?1. n?1（II）∵f?x??log3x，?f(an)?log3an?log33?n?1， 11111bn???(?)(n?3)[f(an)?2](n?1)(n?3)2n?1n?3， 1111111111111?Tn?(?????????????)224354657nn?2n?1n?3 2n?511111?5??(???)122(n?2)(n?3),223n?2n?3 52n?5Tn与?12312的大小，只需对比2(n?2)(n?3)与312 的大小即可. 对比 又2(n?2)(n?3)?312?2(n2?5n?6?156)?2(n2?5n?150)?2(n?15)(n?10) 52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??;**n?N,1?n?9且n?N12312 ∵∴当时， 52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??;n?1012312 当时， 52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??*12312. 当n?10且n?N时， 3. 研究生成数列的性质 - 4 - nn例题9. （I） 已知数列?cn?，其中cn?2?3，且数列?cn?1?pcn?为等比数列，求常数p； （II） 设?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是 等比数列. 解：（Ⅰ）由于{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 将cn=2n＋3n代入上式，得 ＋＋ [2n1+3n1－p（2n＋3n）]2 ＋＋－－=[2n2+3n2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n1＋3n1）]， 即[（2－p）2n+（3－p）3n]2 －－=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n1+（3－p）3n1]， 1整理得6（2－p）（3－p）·2n·3n=0， 解得p=2或p=3. （Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证c2≠c1·c3. 事实上，c2=（a1p＋b1q）2=a1p2＋b1。