一维线性谐振子.doc

. 一维线性谐振子势能为能量本征值能量本征函数递推公式 求导公式2.1 利用Hermite多项式的递推公式，证明谐振子波函数满足以下递推关系：并由此证明，在态下，，证：利用 ，2.2 利用Hermite多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足以下关系：证明：Hermite多项式的求导公式， 所以2.3 计算一维谐振子， 对于基态， 2.4 一维谐振子处在基态，求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数 〔解法一〕：〔二 〕〔1〕(2) 或 (3)动量几率分布函数为2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置解：几率密度令 ，得由的表达式可知，时，显然不是最大几率的位置可见 是所求几率最大的位置2.6：试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量证：线性谐振子的S-方程为①把代入上式，有把代入①式左边，得只有当时，左边 = 右边，即是线性谐振子的波函数，其对应的能量为2.7： 时，处于谐振子势中的一粒子波函数波函数其中、为常数，，且厄密多项式是归一的，即： 区别〔1〕写出表示式；〔2〕在该态下粒子能量的测值及相对几率；〔3〕时，，求及随时间的变化。

解：〔1〕方法一 把写成谐振子本征函数的叠加方法二 把按谐振子本征函数展开所以：〔2〕可测得的能量为 ， 测得二者的相对几率为〔2〕 因、都是偶宇称，所以是偶宇称，且不随时间变化2.8 在时，一个线性谐振子处于以下归一化的波函数所描写的状态 ， 式中是线性谐振子的第n个本征函数〔1〕试求的数值；〔2〕写出在时刻的波函数；〔3〕在时谐振子能量的平均值是多少？秒时是多少？解：〔1〕，解得由于谐振子的哈密顿量不显含时间，所以能量是守恒量，其平均值不随时间变化，因而任何时刻谐振子的能量平均值都是2.9 设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为或上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得∴∴ 动量的平均值为2.10 .在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值解：先把归一化，由归一化条件，，∴一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为将按一维无限深势阱中粒子能量的本征函数展开，∴所以动量的几率分布函数为2.11 .在势阱宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数 描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。

解：一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为方法一：用三角函数把化为假设干正弦函数的叠加可见 ，，能量的可能值；，， 能量的可能值 ；方法二：把按能量的本征函数展开 由三角函数的正交性 得，，能量的可能值；，， 能量的可能值 ；2.12 一维运动粒子的状态是其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量 解：(1)先求归一化常数，由∴将按自由粒子动量的本征函数展开，[ 应用公式： ] 动量几率分布函数为(2) / 。