61-刚性问题认识v1.doc

11、 举例 11\* 0'(,)yftyMERGEFORMAT (1)求解时出现方程组的各分量数量级差别很大，给数值求解带来困难，这类问题都称为刚性（Stiff）问题如某化学反应方程为：209.7510.2duvtv (0)2uv方程右端系数矩阵为 ，特征值为 ，微分方209.751A120.5,0.5程的精确解为 0.520.5. .()1.4987482t tuteev分析：1、 当 t∞时，u1，v(t)1，均为稳态解2、 u 与 v 中第二项为快变分量，大约计算到 t=0.005 秒时近似为 0，称为时间常数；而 为满变分量，其时间常数为2/0.50.5te，大约计算到 秒时慢变分量接近 01 102t3、 若使用 4 阶 RK 方法求解，根据绝对稳定要求，h>1则称系统\* MERGEFORMAT (2)为刚性系统，s 为刚性比若刚性比 s>>1，则 A 病态，对应的刚性方程为病态方程，通常 s=O(10p)，p>=1，则认为系统是刚性的，s 越大刚性越严重1.2 非线性系统对于一般的非线性问题\* MERGEFORMAT (1)，将 f(t,y)在(t,y(t))处做线性展开，记，得到线性逼近()mfJtRy\* ())(,)(),dzttftyzytMERGEFORMAT (4)或者，zJtFtd(),()()tfytJt当(t,y(t) 变化时， J(t)随之变化，得到逼近式J(t)的特征值 ，j=1,…,m，若满足定义 1 中的条件，则系统\* MERGEFORMAT (1)为()jt刚性系统，相应地 s(t)为局部刚性比。

32、 《常微分方程的初值问题的数值解法》C.W. GearP251-p274stiff 方程出现在几乎所有的化学动力学的研究中另外一类问题是与微分方程同时解一组代数方程的问题，这类问题常在网络分析与模拟的时候出现时间常数用来描述衰减速度的术语如方程 有解 如果 λ为负，则在时间-1/λ 内，y 衰减 倍'ytce 1e在一个系统中，不同的项以不同的速度衰减对于系统 ，衰减速度局部地'()f可与 的特征值有关如果一些反映是慢的，而另外一些反映是快的，则快的部分将/fy决定方法的稳定性，虽然这些分量很快可以衰减到微不足道的程度，使得方法的截断误差的变化由慢的分量来确定例 2：\* '(0)1,1yyzzMERGEFORMAT (5)\* MERGEFORMAT (5)式看似一个微分方程组，实际上可以看作两个独立的微分方程若考虑使用 euler 方法求解其中两个独立的方程，按照 Euler 方法的稳定性要求，其特征值和步长必须满足：a>0，在每一步分量至少增长 ea 倍，我们必须对此加以限制，因为要适应这个改变量，节点要充分精细，因此，不使用区域 u>a；4、原点附近：如果 ，在每一步至少有 个完整的振动。

v/27除了不考虑快速衰减分量的区域 R1 和不使用的区域 u>a 之外，我们要描述 u 在[D，a]区域中这些分量的变化为了表示频带受限的信号，至少对出现的最高频率每周期取 2 个样点事实上，为了数值精度，大约上述数字的 5 倍是必要的，所以 θ一定小于 /5特别地，考虑稳定的连续控制系统，λ=7 时，没有 stiff 稳定的 Gear 算法对于边界曲线的问题，以 k=6 为例：G-6 方法：65432160(30057)147 47nnnnnnnnyyyyhf采用 z 变换后： 123456( 0)3604502717 47zzz转化后： 65432614( 50)zzzz matlab 代码：theta=[0:pi/50:2*pi]z=exp(j*theta)u1=147*z.^6-360*z.^5+450*z.^4-400*z.^3+225*z.^2-72*z+10;u2=60*z.^6;u=u1./u2;plot(u)grid得到如下图：9-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-20-15-10-505101520隐式/显式算法对于 stiff 稳定方法，B(z)至少要和 A(z)具有相同的阶次，否则 hλ=∞时，A(z)+ hλB(z)=0 的一个根为∞。

因此 stiff 稳定的算法是隐式算法3、 《计算机科学计算》普通高等教育十五国家规划教材p190-19310有一类微分方程组，存在变化快的分量 和 变化慢的分量变化快的分量 变化慢的分量稳定值快速小步长缓慢大步长图 5理论与实践表明，很多方法，特别是显式方法步长不能随意放大，否则出现数值不稳定的现象定义 一个数值方法称为是刚性稳定的， 如果存在正的常数 a,b, ，使它在区域内绝对稳定；而在区域1{|Re()}hga内对方程式 是精确的2| ,|Im()|}bh'yR1R2DaGear 提出这种定义的想法是这样的，微分方程的解含有形式为 的成分，用数值方te法以步长 h 积分一步时，该分量的改变大约为 倍，如果 ，则改变的幅度为hexyiex：1） 如果 x<-a，则从量值上至少减少到原来的 e-a 倍，当 a 适当大的时，区域 R1 中这种分量的绝对值很快减少到可以忽略的程度，因而在 R1 中，公式的积分精度可以不予考虑，仅需保证方法的稳定性；2） 在包含远点的区域 R2 中，精度与稳定性都需要考虑简而言之，求解初值问题的一个满足刚性稳定的数值方法，可以在 R1 区域内不考虑精度，保证方法的稳定性；而在含原点的区域 R2 内，数值公式的精度与稳定性均需要考虑。

1自《数值计算原理》李庆扬等著，清华大学出版社2 （8）等价为 ]()'()yFtyt。