二元一次方程组及其解法四中.doc

北 京 四 中编　稿：谷　丹　　审　稿：辛文升　　责　编：张　杨 一、本讲教学内容及要求 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念 会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解 灵活运用代入法解二元一次方程组 熟练掌握用加减法解二元一次方程组的方法. 了解代入法、加减法解二元一次方程组的思想方法 二、本讲的重点、难点和关键： 1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法 2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组 3．关键：了解“消元法” 的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“ 二元”转化成“一元” 灵活地运用“代入法 ”和“加减法” 三、本讲重要数学思想： 1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想 2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想 3．通过待定系数法的解题训练,进一步领会方程的思想. 四、主要数学能力： 1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力 2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。

五、化归思想： 　　“解题就是把习题归结为已经解过的问题” 这种关于解题的数学思想称为“ 化归”它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯 本章中“化归” 思想的突出运用有： 1．化陌生为熟悉化二元为一元” ，化“三元为二元”即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中 2．化复杂为简单解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解 3．化实际问题为数学问题利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组将应用问题“ 化为 ”解方程组的问题来解决把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径 六、易错分析： 1.判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断 2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。

求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为 x，y ，可任取 x 的一些值，相应的可算出 y 的值，这样，就会得到满足需要的数对 3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程 4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解　 5．运用代入法解方程组应注意的事项： （1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程 （2）运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形 （3）要判断求得的结果是否正确 6．加减法解二元一次方程组的一般步骤为: (1)先选择好准备消去哪一个未知数,一般在两个未知数中选择在两个方程中系数较为简单的一个. 　　(2)如果准备消去的未知数在两个方程中的系数的绝对值相等,就直接用加减法消去这个未知数,如果系数的绝对值不相等就找出这个未知数在两个方程里系数的最小公倍数,然后把一个方程或两个方程的两边乘以适当的数,使被消去的未知数系数的绝对值相等. (3)把所得的两个方程的两边分别相加或相减,消去这个未知数,得出另一个未知数的一元一次方程. (4)解这个一元一次方程,求得一个未知数的值. (5)用这个未知数的值代入方程组的任何一个方程,求出另一个未知数的值. (6)把所求的两个未知数的值写在一起,就是方程组的解,方程组的解一般写成 形式。

7．对二元一次方程组的解的理解： （1）方程组的解是指方程组里各个方程的公共解 （2）“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义： ①因为任何一个二元一次方程都有无数个解，所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解 ②而这个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程，因此二元一次方程组的解一定同时满足这个方程组里两个方程的任何一个方程 例 1、已知方程 3xm+3-2y1-2n=15 是一个二元一次方程，求 m 和 n 的值 分析：二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是 1 解：由题意得：m+3=1,1-2n=1. ∴ m=-2,n=0. 例 2、下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？ （1） （2） （3） （4） （5） 分析：由二元一次方程组的定义可知：①方程组中的每个方程必须都是一次方程；②方程组中的未知数共有两个；③方程组中的两个方程必须都为整式方程，方程组（1）中含有 3 个未知数；（2）中的 xy=2 是二元二次方程；（5）中的 +y=6 不是整式方程 　　解：（3），（4）是二元一次方程组 例 3、方程组 的解为（　　）。

（A） 　　（B） 　　（C） 　　（D）以上答案均不对 分析：未知数 x、y 的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解 解：把 x=-2,y=2 代入方程①， 左边=3×（-2）+4×2=2= 右边， 再代入方程②， 左边=2×（-2）-2=-6 ，右边=5 ∵ 左边≠右边 ∴ （A）满足方程①但不满足方程 ②，故不是原方程组的解 同理可得，（B）满足方程①又满足方程②，所以是原方程组的解；而（C）满足方程②但不满足方程①，故不是方程组的解∴ 答案选择 B 例 4．已知 是方程 3x-ay-2a=3 的一个解，求 a 的值 分析：由 是方程 3x-ay-2a=3 的一个解，可以理解为 x, y 的值适合方程 3x-ay-2a=3，也就是说方程 3x-ay-2a=3 中的 x 取-2，y 取 时方程成立这样就可以将 　 x=-2 ，y= 代入方程中，转化为关于 a 的一元一次方程，可求出 a 值 解：∵ x=-2, y= 是方程 3x-ay-2a=3 的一个解， ∴ 3(-2)-a( )-2a=3 　　∴ -6- -2a=3,　 ∴ - a=9, ∴ a=- . 例 5、解方程组 分析：用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1 的方程去变形，此例中②式 y的系数为-1，所以用含 x 的代数式表示 y，代入①中消去 y。

解：由②得 y=5x-3　　 ③ 把③代入①得 2x+3(5x-3)=-9, 17x=0, x=0. 把 x=0 代入③得 y=-3 ∴ 例 6、解方程组 分析：由于两个方程中 x 的系数都是 2，代入时可把方程②直接代入方程①，而不必写成 x= 解：把②代入①，得 3y+1-4y=3, ∴ y=-2. 把 y=-2 代入② ，得 2x=3×(-2)+1, ∴ x=-2 .∴ 说明：此题也可由①得 2x=4y+3，代入 ②求解，由此题的解法可看出，解方程组时根据题目的具体特点采取灵活的方法会使问题简化 例 7、解方程组 分析：这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数 解：整理原方程组，得　 　　 由④得，y=3x-4.　　 (5) 把⑤代入③，得 3x-2(3x-4)=2, x=2. 把 x=2 代入⑤，得 y=3×2-4=2， ∴ 例 8．解方程组 分析：此方程组的两个方程中 y 的系数互为相反数，所以可把两个方程相加，消去 y，解出 x 的值；又发现两个方程中 x 的系数相等，所以可把两个方程相减，消去 x，解出 y 的值 解法一：(1)+(2)，得 6x=18,∴ x=3. 把 x=3 代入(2) ，得 9-2y=5,∴ y=2. ∴ 解法二：(1)-(2)，得 4y=8,∴ y=2. 把 y=2 代入(2) ，得 3x-2×2=5,∴ x=3. ∴ 例 9．解方程组 分析：此方程组中两个未知数的系数均不成整数倍，所以选择系数较简单的未知数消元。

将(1)×4, (2)×3，使得 x的系数相等，再相减消去 x 解：(1)×4，得 12x+20y=100......(3) (2)×3 得 12x+9y=45.....(4) (3)-(4)，得 11y=55.∴ y=5. 把 y=5 代入(2), 得 4x+3×5=15,∴ x=0. 　　∴ 例 10．解方程组 （1） （2） 分析：此题中的方程组比较复杂，应先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元求解 （1）解：化简方程组，得 (3)-(4)×14，得 2x=-1,∴ x=- . 把 x=- 代入 (4),得 2×(- )+3y=3,∴ y= . ∴ . （2）解：化简方程组，得 (3)×2+(4)×3，得 19x=38,∴ x=2. 把 x=2 代入(4) ，得 y=2. ∴ . 。