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线性变换的矩阵表示（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第五节 线性变换的矩阵表示内容分布图示 ★ 线性变换的矩阵表示式★ 线性变换在给定基下的矩阵★ 线性变换与其矩阵的关系 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-5★ 返回内容要点：一、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基 如果这个基在变换下的象为 记 则上式可表示为，其中=, 那末，则称为线性变换在基下的矩阵.显然，矩阵由基的象唯一确定.二、线性变换与其矩阵的关系设是线性变换在基下的矩阵，即基在变换下的象为 =,结论 在中取定一个基后，由线性变换可唯一地确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换. 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？定理1 设线性空间中取定两个基；，由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，则.定理表明：与相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换的象空间的维数，称为线性变换的秩. 结论 (ⅰ) 若是的矩阵，则的秩就是.(ⅱ) 若的秩为，则的核的维数为.例题选讲：线性变换与其矩阵的关系例1 (讲义例1) 在中, 取基=,=,=,=1,求微分运算的矩阵.例2 (讲义例2) 实数域上所有一元多项式的集合，记作,中次数小于的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成上的一个线性空间。

性空间中，定义变换 ,则由导数性质可以证明：是上的一个线性变换, 这个变换也称为微分变换. 现取的基为，则有，，，…，,因此，在基下的矩阵为=例3 (讲义例3) 在中，表示将向量投影到平面的线性变换，即,(1) 取基为，求的矩阵；(2) 取基为,,, 求的矩阵.线性变换在不同基下的矩阵例4 (讲义例4) 设中的线性变换，在基，下的矩阵为，求在基, 下的矩阵.课堂练习 1.已知的两个线性变换=，=，其中=，=, 试求在基,,,下的矩阵.7．3 线 性 变 换 和 矩 阵教学目的：1、 熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A，以及n 阶矩阵A和基，求出关于这个基的矩阵 为A的线性变换2、 由向量a关于给定基的坐标，求出s(a)关于这个基的坐标3、 已知线性变换关于某个基的矩阵 ，熟练地求出s关于另一个基的矩阵教学内容：1、 线性变换的矩阵现在设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个基 ,,¼,.考虑V中任意一个向量 x=s(x)仍是V的一个向量.设 s(x)=自然要问,如何s(x)计算的坐标.令 (2) …………………………………………… 这里,i,j=1,…,n,就是关于基的坐标.令 … … A= …………………… … n阶矩阵 A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的 F上n阶矩阵与它对应.为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式(3) =.设 = 因为是线性变换,所以(4) =将(3)代入(4)得 A最后等式表明,关于的坐标所组成的列是 A比较等式(1),我们得到定理7.3.1 令V是数域F上一个n维向量空间,是V的一个线性变换,而关于V的一个基的矩阵是 . 如果V中向量关于这个基的坐标是,而的坐标是,那么 (5) 在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令是将的每一向量旋转角的一个旋转.是的一个线性变换.我们有 所以关于基的矩阵 是设,它关于基的坐标是,而的坐标是.那么例1 令V是数域F上一个n维向量空间。

是V的一个位似那么关于V的任意基的矩阵是例22、线性变换的性质：引理7.3.2 设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基那么对于V中任意n个向量，恰有V的一个线性变换，使得证 设 是V中任意向量我们如下地定义V到自身的一个映射： 我们证明，是V的一个线性变换设 那么于是设，那么 这就证明了是V的一个线性变换线性变换显然满足定理所要求的条件： 如果是V的一个线性变换，且 那么对于任意， 从而 定理7.3.3 设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基对于V的每一线性变换，令关于基的矩阵A与它对应这样就得到V的全体线性变换所成的集合到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射并且如果，而那么（6） （7） 证 设线性变换关于基的矩阵是A。

那么是到的一个映射反过来，设是F上任意一个n 阶矩阵令由引理7.3.2，存在唯一的使显然关于基 的矩阵就是A这就证明了如上建立的映射是到的双射我们有==由于是线性变换，所以因此=A=所以关于基的矩阵就是AB7）式成立至于（6）式成立，是显然的这个定理说明，作为F上的向量空间与同构由（7），我们说，这个同构映射保持乘法由此进一 步得到 设数域F上 n维向量空间V的一个线性变换关于V的一个取定的基的矩阵是A那么可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩阵就是证 设可逆令关于所取定的基的矩阵是B由（7），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I 所以AB=I同理BA=I所以B= 反过来，设，而A 可逆由定理7.3.3，有使于是注意到（5），可看出=l所以有逆，而=3.一个线性变换关于两个基的矩阵的关系：设V是数域F上一个n维向量空间是的V一个线性变换假设关于V的两个基和的矩阵分别是A 和B即=，=令T是由基到基的过渡矩阵：=于是====因此（8） 等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系设A，B是数域F上两个n阶矩阵如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式（8）成立，那么就说B和A相似，并且记作A~Bn阶矩阵的相似关系具有下列性质：1自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为A=2对称性：如果A~B，那么B~A因为由得3传递性：如果A~B且B~C，那么A~C反过来，设A和B是数域F上两个相似的n 阶矩阵。

那么由定理7.3.3，存在F上n 维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵就是A于是=因为B与A相似,所以存在一个可逆的矩阵T,使得令=那么由定理6.5.3，也是V的一个基容易看出，关于这个基的矩阵就是B因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换关于两个基的矩阵 下令等式成立:第三章 矩阵的初等变换与线性方程组知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩 初等矩阵线性方程组的解 学习目标:1.掌握矩阵的初等变换.2.理解矩阵秩的概念及求法.3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.一、填空题1.设矩阵，且，为的一个阶子式，则__0___.2.设3阶方阵的秩为2，矩阵，，若矩阵，则 .3. 已知，且其秩为2，则___3___4.设，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩___n____.5.已知的逆矩阵，那么方程组的解二、选择题1.已知有一个阶子式不等于零，则 ( D A. B. C. D. 2.设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ B ）A．1 B．2 C．3 D．43.设是阶阵，且，则由( A 可得出.A. B. C. D. 为任意阶矩阵4．若方程组有非零解，则方程组必（ B ）A.有唯一解 B.不是唯一解 C.有无穷多解 D.无无穷多解 5．线性方程组只有零解，则（ B ）A. 有唯一解　　 B. 可能无解 　 C. 有无穷多解　 D. 无解6.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ）A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定7．非齐次线性方程有无穷多解的充要条件是（ D ）A． B。