下册：第三章+能量法.ppt

1,第 三 章 能量法,2,,,第三章 能量法,能量法,,§3-1 概述 §3-2 应变能·余能 §3-3 卡氏定理 §3-4 用能量法解超静定系统 *§3-5 虚位移原理及单位力法,3,利用与功和能的概念相关的一些定理和原理，来解决结构的位移计算或与结构变形有关的问题的方法，称为能量法（energy method),能量法,,,,不计能量损耗，,则根据功能原理有,Vε = W,§3-1 概述,4,§3-2 应变能 · 余能,(一)线弹性体,1、轴向拉压杆的应变能计算：,能量法,,,,一、应变能,F 广义力,Δ广义位移,5,2、圆轴扭转时的应变能,3、梁弯曲时的应变能,能量法,,,,各种基本变形的应变能统一表达式：,6,4、杆件在组合变形时的应变能,小变形时，各基本变形的应变能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总应变能即：,能量法,,,,注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等于各力分别作用时产生的应变能的简单相加7,能量法,,,,,解：设F和M同时由零按比例加至终值1）求支反力，列弯矩方程：,（2）求应变能：,（1）、（2）式代入（3）式得：,8,能量法,,,,变形(a)式得,令,则,Vε1：F 单独作用应变能,Vε2：M 单独作用应变能,9,能量法,,,,上三式说明：一组外力引起同一基本变形时，杆的总应变能，并不等于各力分别单独作用时产生的应变能的简单相加。

另外，上三式还说明：杆件的应变能，只与最终的载荷状态有关，而与加载次序无关同时加F 和M,先加M，再加F,先加F，再加M,10,能量法,,,,又如：,结论：应变能与加载次序无关11,能量法,,,,(二)非线弹性体,F 广义力,Δ广义位移,12,[例3-2-1] 用能量法求C点的挠度梁为等截面直梁解：外力功等于应变能,利用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,,能量法,,,,13,[例3-2-2] 用能量法求B截面的转角梁为等截面直梁解:(1)外力功:,能量法,,,,(2) 应变能:,,14,,例3-2-3 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F 的作用，求A点的垂直位移解：用能量法（外力功等于应变能）,1、求内力,能量法,,,,15,3、外力功等于应变能,2、应变能：,能量法,,,,16,二、余能,图 a为非线性弹性体的受拉杆，其F-△和σ-ε关系如图b,c 所示1.余功的定义,,能量法,,,,17,,其大小为曲面OF1a的面积，如图d所示Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OF1a△1 的面积与曲面Oa△1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。

Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc 能量法,,,,18,余能密度为,Δ= f (F ),ε=f (σ )所以余能、余能密度为受力状态的函数3.线弹性体（图e）,Vε和 Vc 数值相等，但概念和计算方法不同，即Vε = f (Δ) , Vc = f (F )仿照 ,,余能为,2.余能,余能为,能量法,,,,19,例3-2-4 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的 σ-ε 关系如图b所示求结构的余能解：该题为物理非线性问题，需用 求 Vc由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为,应力为,能量法,,,,20,余能密度为,结构的余能为,得,能量法,,,,21,图示梁的材料为非线性弹性体，Fi 为广义力，Δi为广义位移各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值一、卡氏第一定理,,,设各力和相应位移的瞬时值分别为fi ,δi，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为,为位移状态函数§3-3 卡氏定理,能量法,,,,22,假设与第 i个荷载Fi相应的位移Δi有一微小位移增量dΔi ， 而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。

外力功和应变能的增量分别为,（a）,(b),式中， 为应变能对位移 的变化率能量法,,,,23,上式为卡氏第一定理它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值得,令,能量法,,,,对于线弹性体也必须把Vε写成给定位移的函数形式以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故上适用于一切受力状态的弹性体24,例 3-3-1 图a所示结构中，AB,BC 杆的横截面面积均为A，弹性模量均为E两杆处于线弹性范围内试用卡氏第一定理，求 B点的水平位移Δ1和铅垂位移Δ2 能量法,,,,25,解：卡氏第一定理要求把应变能写成位移Δ1和Δ2的函数首先分析δAB,δBC和Δ1和Δ2的几何关系dAB=D1 ， d BC=△1cos45˚ =,设B点只发生铅垂位移Δ2（图 c），由图可见,设B点只发生水平位移Δ1（图 b），由图可见,能量法,,,,26,Δ1和Δ2同时发生时，则有,,,由于是线弹性问题，结构的应变能为,（2）,能量法,,,,27,（3）,（4）,联立求解（3）,（4），得,（→）,,（↓）,由卡氏第一定理，得,能量法,,,,28,二、 卡氏第二定理,图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。

各力按简单加载方式作用在梁上设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di， fi梁的余能为,表明,1.余能定理,能量法,,,,29,令,可适用于一切受力状态下线性或非线性弹性体设第 i 个力Fi 有一个增量dFi，其余各力均保持不变，各位移均不变余功和余能的改变量分别是,能量法,,,,上式为余能定理它说明，弹性结构的余能，对于结构上某一荷载之变化率，等于与该荷载相应的位移30,例 3-3-2 图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A，材料在单轴拉伸时的s－ e 的关系如图b所示试用余能定理求结点C的铅垂位移D1能量法,,,,31,解：在例3-2-4中，已求出结构的余能为,由余能定理得,设BC,CD 杆的伸长量为d，容易验证上式满足 ，即为变形的几何关系(证明见下页)能量法,,,,32,由平衡方程得,两杆的伸长量为,则BC,CD 杆横截面上的的应力为,故,能量法,,,,33,2.卡氏第一定理和余能定理的比较,,Di→Di+dDi，其它位移均不变，所有的力均不变Fi→Fi+dFi，其它力均不变，所有位移均不变能量法,,,,34,续表,(平衡方程),（变形的几何关系）,能量法,,,,35,3、 卡氏第二定理,余能定理式可改写成,上式称为卡氏第二定理，它是余能定理弹性情况下的特殊情况。

仅适用于线弹性体，它将是研究的重点当结构为线弹性体时，由于力F 和位移D成正比，Vc在数值上等于应变能Ve（如图）若把 用力表示，即,能量法,,,,36,它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移注意:,组合变形（不计剪力的影响）时,也可以写成,用该式计算时，可减少计算工作量能量法,,,,37,例3-3-3图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响试用卡氏第二定理求A 截面的铅垂位移ΔAy解：由于刚架上 A,C 截面的外力均为F，求A 截面的铅垂位移时，应将A 处的力F 和C处的力F 区别开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F能量法,,,,38,,即,AB 段（0≤x≤ l） M (x)=−FA x ,,各段的弯矩方程及其对 FA 的偏导数分别为,BC 段 （0≤y1≤ l / 2） M (y1)=−FA l ,,能量法,,,,39,CD 段（0≤y2≤ l / 2） M (y2)=−FA l −F y2 ,,令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得,（↓）,能量法,,,,40,例 3-3-4 图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。

试用卡氏第二定理求梁A端的挠度wA解：因为A截面处无与wA相应的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0 , 即,能量法,,,,41,梁的弯矩方程以及对F 的偏导数分别为,利用卡氏第二定理，得,（和假设的F 的指向一致）,这种虚加F力的方法，也称为附加力法↓),这是因为 为n个独立广义力的二次齐次式,其中 也可以作为一个广义力能量法,,,,42,例 3-3-5 图a 所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI用卡氏第二定理求中间铰B 两侧截面的相对转角 不计剪力对位移的影响能量法,,,,43,在中间铰B 两侧截面处各加一个外力偶矩 MB ，并求 出在一对外力偶 MB 及 q 共同作用下梁的支反力（图 b）解：,B 截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶 MB 相应的相对角位位移，即,能量法,,,,44,（0 x≤ l）,梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为,AB 段,能量法,,,,45,中间铰B两侧截面的相对转角 为,结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致BC 段,能量法,,,,46,例 3-3-6 图a 所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。

用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D不计剪力和轴力的影响能量法,,,,47,圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即,（←→）,用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F 的偏导数分别为,解：,，,能量法,,,,48,结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致利用对称性，由卡氏第二定理，得,能量法,,,,49,注意：用卡氏第二定理求结构某处位移时,该处需要有与所求位移相应的广义力如无与所求位移相应的广义力，则需要附加（或虚设）对应的广义力，在积分时再定义该附加力为零可见,用卡氏第二定理解题时,某处的位移并不一定是该处的广义力产生的),能量法,,,,50,例3-3-7 悬臂梁受力如图所示，在两力F 共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1 和 w2试证明：,证明：设作用在1, 2两截面的外力分别为F1 和 F2 ，且 F1 =F ,F2＝F，则梁的应变能为Vε=Vε(F1,F2)根据复合函数求导法则，,有,能量法,,,,51,因此，若结构上有几个外力的字符相同时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。

若F1 和 F2 方向相反,则,能量法,,,,52,例3-3-8图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为,（0≤ x≤ l）,能量法,,,,（0≤y≤ l）,，,BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为,,53,（0≤y≤ l）,A 端的铅垂位移为,,,,（↓）,能量法,,,,（0≤ x≤ l）,54,一、卡氏第一定理（ ）,例3-4-1 各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A试用卡氏第一定理求各杆的轴力§3－4 用能量法解超静定系统,能量法,,,,55,(2),结构的应变能为,(1),设1, 2, 3 杆的轴力分别为 , 和 （图b），相应的位移为D1, D2和D3（图c）解：该题为一次超静定能量法,,,,由对称性可知， ，D1＝D2由图c可知：,56,解得,由胡克定律得,将（4）式代入（1）得,(4),能量法,,,,(1),(2),57,以位移作为基本未知量求解超静定问题的方法，称为位移法1）式为变形的几何方程，（3）式为平衡方程求轴力时又应用了物理方程。

故位移法仍然是综合考虑了平衡方程, 几何关系和物理方程来求解超静定问题的能量法,,,,58,解：若以各杆的轴力为未知量，该题为（k-2）次超静定问题若以A 点的水平位。