第六讲几何轨迹.doc

第六讲　几何轨迹　几何轨迹的基本知识一、轨迹的意义1．定义　给定条件或性质C，满足条件C的一切点所构成的图形F,称为由条件C所决定的轨迹2．轨迹命题的两面证明：　“不漏不滥”（1）完备性：符合条件C的任何点都在图形F上，或不在F上的任一点均不满足条件C　　即点无漏掉2）纯正性：在图形F上的任一点都符合条件C；或不符合条件C的任一点都不在图形F上保证图形F上的点没有鱼目混珠或冒充的点一般来说，图形F是知其形而不知其性，轨迹是知其性而不知其形研究轨迹问题，就是探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使形和性得到完美统一3．轨迹命题的三种类型　　　轨迹问题根据结论部分论述与否完整可分为三种类型：第I类：命题结论中明确阐明了轨迹图形的形状、位置和大小第II类：命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置和大小或缺，或论述不全第III类：命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息　　　一般把第I类、第II类命题称为轨迹定理，把第III类命题称为轨迹问题二、基本轨迹命题命题1　和一种定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆命题2　和两个定点距离相等的点的轨迹是连结这两个定点的线段的中垂线。

命题3　和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长的两条平行线命题4　与两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线距离相等的一条平行线命题5　与相交两直线距离相等的点的轨迹，是分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线命题6　对已知线段的视角等于定角的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于的两段弓形弧命题7　和一种定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为球心，定长为半径的球面命题8　和两条平行线距离相等的点的轨迹是这两平行直线公垂线段的中垂面命题9　和两条定相交直线距离相等的点的轨迹，是通过这两条直线所成角的平分线且与已知两直线所在平面垂直的两相交平面命题10　和一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是以这条定直线为轴，半径等于定长的一种圆柱面命题11　和一条定线段的两端连线所张成的角等于直角的点的轨迹，是以这条定线段为直径的一种球面多种轨迹类型命题举例一、第I类轨迹命题此类问题的求解环节为：① 写出已知与求证；②证明完备性与纯正性；③作出结论例1　设一点到矩形的一双对顶的距离之和等于到另一双对顶的距离之和，则其轨迹为矩形的两条对称轴。

已知：　ABCD是矩形，和是它的对称轴，P是适合条件　　　（i）的点求证：点P的轨迹是直线和.证明：（1）完备性　证满足条件（i）的点必在直线或上.由　　得以O表达AC与BD的交点，则PO是△PAC和△PBD的中线，由斯特瓦尔特定理知由上知　　及　从而　因此　　或　又　因此　　　或　　即满足条件（i）的点P不在上便在上2）证纯正性　即证在直线或上的点满足条件（i）由图形的对称性，这是显然的3）得结论　由上知，所求轨迹是直线和.例2　给定直角，一条定长（记为）的线段AB在角的两边上滑动，则AB中点的轨迹是以O为中心，觉得半径的圆被角两边所截的圆弧（如图）证明：（1）完备性　设P为AB的中点，则P为直角三角形△OAB斜边中点，有　，即P在上2）纯正性　在上任取一点P，下面证通过P存在长为且两端在的两边上的线段AB现作交角的两边于A、B，由于为直角，又，，于是，即A、P、B共线，于是AB为的直径，从而，即P是一条定长线段AB的中点3）结论：所求轨迹是以O为中心，觉得半径的圆被角两边所截的圆弧.二、第II类轨迹命题第II类轨迹命题，明白说出轨迹形状，至于位置和大小，或论述不全或干脆不说，解决此类问题，分三步：①　探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全拟定。

②　证明完备性和纯正性，并下结论③　讨论，即研究所给定的条件对轨迹的影响例3　和两定点距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是一种圆周，称为阿氏圆　　　设A、B为定点，点M的轨迹使，为定常数探求：若一点M满足此条件，则M有关AB的对称点也满足此条件，即所求轨迹以AB为对称轴，那么就是直径在直线AB上的圆设内分线段AB于C，外分线段AB于D，使那么C、D满足条件，轨迹也许是以CD为直径的圆周1）完备性　如下图，设M为符合而不在AB上的任一点，由于，由三角形内外角平分线的性质知MC、MD分别是的内外角平分线，从而，故M在以CD为直径的圆周上2）纯正性　如下图，设M为圆上异于C、D的任一点，过M作交DC于下证=.由于MC为的内角平分线且知MD为的外角平分线，则有（内、外角平分线的性质）又由假设从而　，又和均在C的同侧，故和重叠∴　. 　　　　　　　　　　■例4　到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（也许缩为一点），称为定和幂圆　　　　设A、B为定点（如下图　　），为定长，求点M的轨迹，使满足条件.探求：若M符合条件，则M有关直线AB的对称点及M有关AB的中垂线的对称点也都符合条件。

可见轨迹以AB和为对称轴，故也许是以AB的中点为中心的圆证明：（1）完备性　设M符合条件，连MO，由斯特瓦尔特定理知　，于是即　M在上，其中由上式给出2）纯正性　反之，设M为上任一点，有即M符合所给条件3）讨论　当时，轨迹为圆；当 时，轨迹为一孤立点；当时，轨迹不存在，即没有适合条件的点　　　　　　　　　　　　■例5　到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线，称为等差幂线设A、B为两定点（如下图　　），为常数（正、负或零），求满足条件的点的轨迹探求：点M满足条件，则M有关AB的对称点也满足条件，故若轨迹是直线，就一定对称于AB，因而与AB垂直，只须懂得这直线和AB的交点N，轨迹就完全定了由　故由上式定一点N，及通过N垂直于AB的直线.证明：（1）由探求过程知，符合条件的点M在过N且垂直于AB的直线上2）反之，在上任取一点M，有，即点M满足条件3）讨论　当时，是AB的中垂线；当时，可看作满足条件的轨迹是有关AB中垂线的对称线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■三、第III类轨迹命题与解决第II类轨迹命题同样，只是探求较麻烦探求轨迹的有效环节为：① 描迹　按所给条件作出轨迹上若干点，连以平滑曲线，往往可发现轨迹的形状及大体位置，是直观有效的初步措施。

② 预测轨迹的性质，重要观测轨迹的对称性及范畴i）若所给图形及条件均有对称性，则轨迹有相应的对称性，如轴对称和中心对称；ii）轨迹上有可达任意远处的点，且无（有）端点，轨迹为直线（射线）；iii）轨迹上没有可达任意远处的点，轨迹为线段、圆或圆弧，若有起讫，则是圆弧或线段③ 拟定特殊点④ 研究任意点和特殊点的关系如上一步或几环节，足可判断轨迹，然后加以证明，必要时进行讨论例6　从已知半圆直径AB延长线上任取一点C，作切线CT及的平分线，从圆心作这平分线的垂线，求垂足M的轨迹探求：作，若时，CT趋而为B的切线，角平分线为BD，点M为BD的中点G由图形的对称性知，G有关OD的对称点H也应为轨迹上一点若C趋向无穷远，则切线趋而为点D的切线，角平分线为OD的中垂线，点M为P故G、H、P在轨迹上且共线（距AB均为），预测轨迹为线段GH.证明：（1）设M是符合条件的点，下证M在GH上由探求过程知，当C在以B（A）为端点的射线上持续移动时，点M由G（H）持续移动到点P，只须证明M到AB的距离即可设OM交CT于N，并作，显然M是等腰底边ON的中点，故2）设M为GH上一点，下证M符合条件作，MC与AB的延长线交于点C，作OC有关MC的对称线CN形成等腰△CON，作，，，则　，即CT为切线。

　　　　　　　■注：若着眼函数关系，设M为符合条件的任一点，设，则故M段GH上例7　设BC是定半圆的直径，从半圆周上动点A作，在半径OA上截OP＝AD，当点A描画半圆周时，点P的轨迹为什么？探求：动点A在B处，显然OP＝AD＝0，P重叠于O，即O为轨迹上一点；若A在的中点M时，AD重叠于MO，P重叠于M，即M在轨迹上下面考察特殊点O、M与一般点P的关系显然有，因此，又图形与条件均以OM为对称轴，轨迹也以OM为对称轴，故可判断轨迹是以OM为直径的圆证明：（1）完备性　由探求已证2）纯正性 在这圆上任取一点P异于O、M，A表达OP与半圆周的交点，作，则由与斜边等，一锐角相等，故，即P符合条件　　　　　■我们阐明的轨迹命题的两面证明（即一方面证明合于条件C的点在图形F上，另一方面证明图形F上的点合于条件C），乃是轨迹定义的必然规定，使得轨迹上的点不漏不滥我们所选的例子都是那样典型，碰巧每次都是合于条件C的点在图形F上，而图形F上的点又个个合于条件C，乃至也许引起这样的误解：觉得证明一面已经够了，两面证明徒然麻烦而已目前通过一种具体例子阐明事实并非如此在解决轨迹问题时，一不小心便犯下错误例8　BC是给定等腰三角形ABC的底边，求合于条件的点P的轨迹。

分析 给定图形即等腰和给定条件都容许以BC的中垂线为对称轴显然上的点满足条件但若觉得所求轨迹即是直线，却错了设P为合于条件的点，则两个三角形ABP和ACP有一边相等，即，而这两边的对角也相等，即，因此这两三角形的外接圆相等在同圆或等圆中，对于等弦AP上的内接角和是相等或相补的1）若，则，从而，故点P必在BC的中垂线上2）若和相补，且A、B、C、P无三点共线，则P在外接圆的上3）若A、B、C、P有三点共线，则P在以B为端点的射线上，或在以C为端点的射线上容易证明，所求轨迹是由直线、射线及、圆弧所构成的复合图形思考题：给定以AB为弦的弓形，P为弧上动点，延长AP到M，使PM＝PB，求点M的轨迹探求：当时，M即为B点；当时，AP趋于A的切线AT，截取AT＝AB，则M点为T点；这阐明轨迹有起讫P为内一点，如图，必有，故M落在B点起且以AB为弦内接角等于的圆弧.证明：自证。