李舜--函数中任意性与存在性的问题分类.doc

浅谈函数中任意性与存在性的问题分类李舜摘要：函数中的“任意性”与“存在性”问题，是高中数学常见又典型的热点与考点，两者既有区别又有联系，经常与函数导数、方程、不等式等知识点相结合本文整理了这类问题的八种典型类型，把不等关系或相等关系转化为函数的值域或最值问题来讨论，并结合实例进行分析关键词：函数 任意性 存在性 值域函数的“任意性”与“存在性”问题，是高中数学常见的一个知识点，也是近几年高考的热点与考点此类问题经常与函数导数、方程、不等式等相结合，考查学生分类讨论、数形结合、化归与转化等数学思想，综合性强，题型灵活多变可有单函数、单变量问题；双函数、单变量问题；双函数、双变量问题等对于这类问题，可利用函数导数的相关知识，借助图像理解，把不等关系或相等关系转化为函数的值域或最值问题来讨论对这类问题的研究，笔者整理了八种典型的类型，并结合实例进行辨析，供参考类型一：若有恒成立；若有恒成立这种类型属于单函数、单变量问题，在平时的解题中经常遇到，属于常见题型，一般可以用参变分离的方法来做对f(x)进行求导，解得最值例1.已知两函数，，对任意，都有成立，求实数的取值范围.分析：本题对于形如的问题，有两种方法：第一，可以先构造函数，再转化为；第二，可以利用参变分离来做。

解析：设，问题转化为时，恒成立，故只需令，得或由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，，，，∴，由，得.类型二：若有成立；若有成立这种类型也属于单函数、单变量问题，与类型一具有可比性，也是常见题型，可以采用参变分离的方法，对f(x)进行求导，解得函数的最值例2.已知两函数，，存在，使成立，求实数的取值范围.分析：对于本题形如的研究，可以构造函数，再等价为.解析：据题意，存在，使成立，即为：在有解，故只需，由例1知，于是得.类型三：若，，都有这种类型是双变量、双函数问题，学生一开始接触的时候会比较茫然，此时可以画出函数图像进行引导，利用数形结合的思想，得出解题思路例3.已知两函数，，对，，都有，求实数的取值范围.分析：它与例1虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对，，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，，的取值在各自定义域上具有任意性，因此要使不等式恒成立的充要条件是：.解析：∵,∴，∵，∴，∵,∴，即.类型四：若，，使得有了以上三种类型的分析与探讨，则第四种类型也变得容易理解同样地可以利用函数图像进行分析，对图像位置进行平移，得出临界条件例4.已知两函数，，，,使得，求实数的取值范围.分析：，,使得，只需的最小值不大于的最大值.解析：由例3得，在定义域内，，，因此只需，即，∴.类型五：若，，使得例5.已知两函数，，，,使得，求实数的取值范围. 解析：由例3得，在定义域内，，，因此只需，即，∴.类型六：若，，使得例6.已知两函数，，，对,使得，求实数的取值范围. 解析：由例3得，在定义域内，，，因此只需，即，∴.类型七：若，，使得的值域与的值域交集非空.例7.已知两函数，，，,使得，求实数的取值范围. 解析：由例3得，在定义域内，，，因此只需的值域与的值域交集非空。

我们可以利用补集的思想，先算两值域交集为空集时的情况，再求其补集即可即或，解得或，所以本题答案为.类型八：若，，使得的值域是的值域的子集.例8.已知两函数，，若对于，总,使得成立，求实数的取值范围.解析：由例3得，在定义域内，，，因此只需的值域是的值域的子集因此只需满足，解得.由上述例题可以看出，此类型题含有两个函数，两个变量，且两个变量没有关联，在各自的区间内取值具有任意性任意性与存在性的综合问题成题形式多变，如果一味拘泥于结论，则会让思维僵化解题时应灵活运用数形结合的思想，转化为函数最值或值域问题加以解决其中，求函数最值或值域的方法多样，可涉及函数导数、分离常数、分类讨论、数形结合等多种手段与思想，对学生的能力是一种极好的考察特别声明，本文所阐述的类型结论都是在默认最值存在的前提之下，当给定区间为非闭区间或函数非连续时，其最值可能无法去到，此时须确定其上或下确界，并考虑等号能否取得参考文献： 傅建红，《聚焦函数中的任意性与存在性问题》，高中数学教与学，第3期本论文是李舜老师在任现职期间所写，字数约在1700字以上，已于2016年 11月18日在学校组织的数学组教学研讨会上进行公开宣读，与会者有本学科全体教师、其他学科组长、各年级长、学校领导及中层以上干部共93人。

参评人员一致通过该论文的宣读，同意该老师申报高中数学一级教师资格学科组长签名： 2016年11月23日。