空间点线面关系.doc
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必修二 第二章： 点、直线、平面之间的位置关系 【 课 题 引 入 】 前面我们认识了部分空间几何体，知道空间几何体各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢？一般的方法是，从构成空间几何体的基本元素——点、直线、平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，由整体到局部，由局部再到整体，逐步认识空间几何体的性质，本章以长方体为载体，直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系，学会用数学语言表述有关平行、垂直的判定与性质，并对某些结论进行论证§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（第一课时） 【 课 题 引 入 】 长方体是我们非常熟悉的空间几何图形，观察长方体(如图所示) ，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？ 【 学 习 目 标 】 【学习目标】① 正确理解平面的几何概念, 并熟练掌握三种数学语言的转换与翻译；② 掌握平面的表示法及水平放置的直观图，并掌握平面的基本性质及作用，会解决一些简单的几何问题；③ 培养学生的空间想象能力学习重点】① 平面的概念及表示；② 平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.【学习重难点】平面基本性质的掌握与运用【学习过程】 【 课 前 学 习 】 一．阅读探究 1：阅读教材 40—41 页内容，回答问题（平面的基本知识）问题 1、现实生活中一些物体通常呈平面形，例如：可桌面、黑版面、墙面等；我们将它们抽D CBAC'B'D'A'注：“平面”与多面体中的“面”是有区别的。
象出来，就得到几何学中的平面的概念，这是几何学中的一个基本概念（不加定义的原始概念） ，我们可以描述它的属性，那么几何学中的平面有什么属性呢？【点评】平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念，只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限 ，很像如来佛的手掌【练习】判断下列各题的说法正确与否1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )2、平面有边界； ( )3、一个平面的面积是 ； ( )25cm4、菱形的面积是 ； ( )5、一个平面可以把空间分成两部分; ( )6、两个平面合在一起变厚了 ( )【问题 2】 “平面”的图示与符号表示观察：请你从适当的角度和距离观察桌面、黑版面或者门的表面，它们呈现出怎样的形象？由此，你能得出“平面”的图示方法吗？（阅读教材 P41）【注】 “平面”的符号表示： 【点评】：水平平面的画法不唯一，只是习惯上用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画成 ，且横边长等于其临边长的 2 倍. 如果一个平面被另一个平面045挡住，你会用怎样的图形表示呢？你画出来的图形立体感强吗？【问题 3】（1）动手演示“空间中点与直线的位置关系”并用符号表示：① 点 在直线 上，记作：____________；②点 不在直线 上，记作：____________Al Al（2）动手演示“空间中点与直线的位置关系”并用符号表示： ①点 在平面 内，记作：____________② 点 在平面 外，记作：____________AA（3）你能用图形表示上述关系吗？二．阅读探究 2：公理 1 的理解（阅读教材 P41）：1. 动手演示并总结“空间中直线与平面的位置关系”： 2. 思考：如何判断直线 在平面内 呢？如果直线 与平面 有一个公共点 ，直线 是llPl否在平面 内？如果直线 与平面 有两个公共点呢？l3. 公理 1（1） 语言阐述： （2） 符号表示： （3） 图示： 4. 公理 1 在生活实践中的运用理解：阅读教材 P41 中的实例，请你动手试一试。
三．阅读探究 3：公理 2 的理解（阅读教材 P41-42）：1. 生活实例：现实生活中，照相机或测量用的平板仪的脚架都设计成三角架形式，你知道这是为什么吗？【注】所谓公理，就是经过人们长期实践检验，不需要证明同时也无法证明的客观规律（不需要其他判断加以证明的命题和原理），2. 公理 2：（1） 语言阐述： （2） 符号表示： （3） 图示： 3. 你能举例说明公理 2 在生活中的运用实例吗？四．阅读探究 2：公理 3 的理解（阅读教材 P42）：1. 动手演示并总结“空间中平面与平面的位置关系”： 2. 思考：如何判断两个平面相交呢呢？如果平面 与平面 有一个公共点 ，它们是什P么 位置关系？（动手演示一下，你就明白了）3. 公理 1（1） 语言阐述： （2） 符号表示： （3） 图示： 【 课 堂 学 习 过 程 】一、 课前学习成果交流（学生讲解，教师点评）二、新知学习1. 立体几何中常用符号：数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达点 A 在直线 上l点 A 在直线 外点 A 在平面 内点 A 在平面 外直线 在平面 内l直线 在平面 外直线 ，m 相交于点 Al平面 相交直线,l2. 三个公理及其作用：（见前面学案）名称 文字叙述 符号表示 图形表示 作用公理一 公理二公理三【注】公理化方法：三、例题赏析例 1. 四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？公理 3 的推论：两个平面的公共点必在公共直线上。
例 2. 用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.A B β α a l (1) a b P l β α (2)例 3. 把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点？为什么？B例 4. 如图在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：ABCD⑴直线 在平面 内； ⑵设上下底面中心为 ， 则平面 与平面,OACB的交线为 ；D⑶点 可以确定一平面；,A⑷平面 与平面 重合.BA OOBCDA CB四、总结提升：1. 平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用), 是用公理化方法证明命题的基础 .其中公理 可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理 用来确定一个平面，判断两平1 2面重合，或者证明点、线共面；公理 3 用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.【学习评价 】【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差【当堂检测】计分：1.下列命题正确的是（ ）A 经过三点确定一个平面 B 经过一条直线和一个点确定一个平面C 四边形确定一个平面 D 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2.⑴不共线的四点可以确定几个平面？⑵共点的三条直线可以确定几个平面？3.判断下列命题是否正确？⑴平面 α 与平面 β 相交，它们只有有限个公共点⑵经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面⑶经过两条相交直线有且只有一个平面⑷如果两个平面有三个不共线的公共点那么这两个平面重合4. 如图在四面体中，若直线 和 相交，则它们的交点一定（ ）.EFGHA.在直线 上 B.在直线 上 DBABC.在直线 上 D.都不对 C H GDCFEBA 【 课 后 学 习 】 一、 回顾复习笔记，理解并默写知识要点； 1、立体几何中常用符号：数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达点 A 在直线 上l点 A 在直线 外点 A 在平面 内点 A 在平面 外直线 在平面 内l直线 在平面 外直线 ，m 相交于点 Al平面 相交直线,l2、三个公理名称 文字叙述 符号表示 图形表示 作用公理一 公理二公理三二、 基础题：1. 三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？2. 以下命题正确的是 （ ）A．两个平面可以只有一个交点B．一条直线与一个平面最多有一个公共点C．两个平面有一个公共点，它们可能相交D．两个平面有三个公共点，它们一定重合3. 用符号表示下列语句，并画出图形：⑴点 A 在平面 α 内，点 B 在平面 α 外；⑵直线 在平面 α 内，直线 m 不在平面 α 内；l⑶平面 α 和 β 相交于直线 ；l⑷直线 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q ；⑸直线 是平面 α 和 β 的交线，直线 m 在平面 α 内, 和 相交于点 P.l l4. 下面说法正确的是（ ）.①平面 的面积为 ； ② 个平面重合比 个平面重合厚；ABCD210c1050③空间图形中虚线都是辅助线； ④平面不一定用平行四边形表示.A.① B.② C.③ D.④5. 下列结论正确的是（ ）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面；②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面A. 个 B. 个 C. 个 D. 个12346. 直线 相交于点 ，并且分别与平面 相交于点 两点，用符号表示为2,lP,AB____________________.三、 能力提高：7. 一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面8. 已知:如图 D,E 分别是 ΔABC 的边 AC,BC 上的点,平面 α 经过 D,E 两点.(1)求作直线 AB 与平面 α 的交点 P;(2)求证:D,E,P 三点共线. EDC BAα 知 识 拓 展 【公理 2 的拓展】公理 用来确定一个平面，主要用于“判断两平面重合，或者证明点、2线 共面”等问题，而公理 2 还有三个常用推论：推论 1：经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面；推论 2：经过两条相交直线，可以确定一个平面推论 3：经过两条平行直线，可以确定一个平面。
