《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）.doc

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；　　2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；　　3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；　　4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；　　5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】　　　　　　　【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.　　(3)垂径定理及推论：　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.　　 　⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.　　 　圆周角的性质：　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.　　 　③90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.要点诠释：　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上　　设⊙O的半径为，OP=，则有　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法　　当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质　　(1)切线的判定：　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.　　(2)切线的性质：　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径.　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心.　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系　　设的半径为，圆心距.　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离　　 　.　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.　　(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).　　(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算　　圆的面积公式：，周长.　　圆心角为、半径为R的弧长.　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ． 【答案】；【解析】由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为 那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上， 设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2 即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2 化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4 解得 a=0 即△ABC外接圆圆心为P(1,0) 则 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心P（设△ABC的外心为P）必在直线x=1上；由图知：BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P（1，0）；连接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半径长． 类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60，求CD的长． 【答案与解析】作OF⊥CD于F，连接OD．∵ AE＝1，EB＝5，∴ AB＝6． ∵ ，∴ OE＝OA-AE＝3-1＝2．在Rt△OEF中，∵ ∠DEB＝60，∴ ∠EOF＝30，∴ ，∴ ．在Rt△DFO中，OF＝，OD＝OA＝3，∴ (cm)． ∵ OF⊥CD，∴ DF＝CF，∴ CD＝2DF＝cm．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF⊥CD于F，构造Rt△OEF，求半径和OF的长；连接OD，构造Rt△OFD，求CD的长．举一反三：【变式】如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分别为AB、AC的中点（垂径定理），则MN是△ABC的中位线，BC=2MN=6.　3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20，则∠OCD = ．yxOABDC（第3题）【答案】65.【解析】连结OD，则∠DOB = 40，设圆交y轴负半轴于E，得∠DOE= 130，∠OCD =65.【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）A．60 B．120 C．60或120 D．30或150【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30，∴∠AOB=120，∴∠AEB=∠AOB=60，∵∠E+∠F=180，∴∠F=120，即弦AB所对的圆周角的度数为60或120．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE。