高中数学 导数研究函数解析 新人教版.doc

利用导数研究函数利用导数研究函数问题，主要问题有：1.求函数图象的切线方程：要知道导数和切线斜率的关系、知道经过点A的切线和在点A处的切线两种表达方式的区别2.求函数的单调区间：对应的区间是增区间，对应的区间是减区间在实际解题时，为了避免解不等式的麻烦可以按下列步骤求解：（1）求导数（2）判断是否恒大于或等于0（小于或等于0），如果是，则在其定义域内递增或递减否则，令并求根（3）列表：用将函数的定义域分划成几个区间，并判断在各区间的正负，从而，知道函数在各区间的单调性3. 求函数的极值、函数的最值如果可导函数在处有极值，则，但如果，在处不一定有极值；函数的最大（小）值只可能在区间端点、极值点处取得求函数在区间最值的一般步骤，可以在求函数单调区间一般步骤基础上简化为：（1）求导数2）令并求根（3）计算，比较它们大小即可4.利用导数解决条件不等式问题、解决函数图象交点个数问题其本质是根据函数的单调性、极值、最值的基本情况，刻画函数图象的基本面貌，利用数形结合的基本思想解决问题下面的思想方法很重要，恒成立，则的最大值；恒成立，则的最小值练习1.函数，当时，取得极大值8；当时，有极小值-19，求的表达式。

解：依题意，有，在内是减函数，且，又，，，故2. 设函数，已知和为的极值点． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）讨论的单调性； （Ⅲ）设，试比较与的大小．解：解：（Ⅰ）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，．（Ⅱ）因为，，所以，令，解得，，．因为当时，；当时，．所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，令，则．令，得，因为时，，所以在上单调递减．故时，；因为时，，所以在上单调递增．故时，．所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有．3. 已知函数在区间上都是增函数，在（0，4）上是减函数.（1） 求b的值； （2）求a的取值范围.【解答】 ⑴由条件知是函数的极值点.∵，令，得.⑵已求，∴.令，得.由条件知为极大值点，则应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数. ∴，，得.4. 已知曲线与曲线交于O、A两点，直线与曲线分别交于B、D⑴写出四边形ABOD的面积S与的函数关系；⑵讨论的单调性，并求的最大值解：（1）由方程 得交点 又（2） 令递增，递减最大=5. 已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程解：设直线与的切点分别为，又 或， 的方程为： 或 。

6. 证明：对任意正数，有不等式恒成立解：讨论函数在区间上的最大值，，令，将区间分成两个区间与，列表：10极大值点故当时，有最大值，又，7．已知抛物线，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线 ⑴若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（）；⑵设为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由解：(1)函数的导数上点处切线的斜率，因为过点的法线斜率为，所以，解得，故点M的坐标为2）设为C上一点，①若，则C上点处的切线斜率，过点的法线方程为，此法线过点；②若，则过点的法线方程为： ①若法线过，则，即 ②若，则，从而，将上式代入①，化简得：，若与矛盾，若，则②式无解综上，当时，在C上有三点及，在这三点的法线过，其方程分别是： 当时，在C上有一点，在这点的法线过点，其方程为：8. 已知函数．（Ⅰ）判断函数的奇偶性；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）函数的定义域为{且} ………………… 1分∴为偶函数 ………………… 3分（Ⅱ）当时， ………………… 4分若，则，递减； 若， 则，递增． ………………… 6分再由是偶函数，得的递增区间是和；递减区间是和． ………………… 8分xyO-111-1111。

Ⅲ）方法一：要使方程有实数解，即要使函数的图像与直线有交点． 函数的图象如图．………………… 9分先求当直线与的图象相切时的值．当时，设切点为，则切线方程为，将代入，得即 （*） ………………… 10分显然，满足（*）而当时，，当 时，∴（*）有唯一解 ………………… 12分此时再由对称性，时，也与的图象相切，………………… 13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）． ………………… 14分方法二：由，得： ………………… 9分令当， …………………10分显然时，，时，，∴时， ………………… 12分 又，为奇函数∴时，∴的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞） ………………… 13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）． ………………… 14 分9. 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：（I）设商品应降价x元，则多卖的商品数为.每件商品的实际利润是30-9-=21-（元）已知=2时，=24..记商品周利润为，则 .（II）.令，得在内，的单调变化情况是：212 -0 +0 -极小极大故当时，有最大值11 664.10. 已知函数其中（1）当时，求曲线处的切线的斜率； （2）当时，求函数的单调区间与极值。

解 ：（I）解：（II） 以下分两种情况讨论1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗ （2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗ 11. 设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，∴（Ⅱ）∵,当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.12. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 解：（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.13. 设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。

1)求a、b、c、d的值；(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤解答(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. ∴f′(x)=3ax2+c.∵x=1时,f(x)取极小值-. ∴f′(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)∵x1、x2∈[-1,1], ∴x12-1≤0，x22-1≤0∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0; 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.于是x1,x2∈[-1,1]时，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤.【点晴】①若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.14. 已知函数（、）。

Ⅰ）若的图像在部分在轴的上方，且在点处的切线与直线平行，求的取值范围；（Ⅱ）当、，且时，不等式恒成立，求的取值范围解答：（Ⅰ）依题意，有，所以因为的图像在部分在轴上方，所以在区间上的最小值大于零令，于是由，，，知：在区间上的最小值为，故有；（Ⅱ）（），即当时，，即恒成立，由此得15. 已知平面向量=(,-1).=(,).(1)证明⊥；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.解答：(1)∵=×+(-1)×=0 ∴⊥.(2)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0.整理后得-k+[t-k(t2-3)] 。