西安交通大学有限元分析word版第二章.docx

第二章结构矩阵分析由于有限元方法起源于力学中的结构分析，本章的作用是通过三个典型问题说明有限元 方法应用于结构分析时的一般步骤，并借此了解有限元方法的一些基本概念§2-1平面桁架（直接法，结构矩阵分析中常用的力法，处理静定问题，位移法，可处理静定&静不定）本节讨论的对象是图2-1所示的平面桁架组成桁架的各杆为等截面直杆，外载荷p直 接作用于杆的铰接点（结点）上为简单起见不妨设各杆的截面积均为A，材料的弹性模量 均为E我们可按下述步骤求得桁架的变形和内力图2 — 1(X] y1)=(0, 0 )、(x2 y2)=(a, a )、(x3 y3) =(a, 0 ){U1，VJT、风，V2}T、{u3, V3}T风七 U2 V2 U3 V3 }T1、 结构的离散化对结点及单元编号取组成桁架的每根杆为一个单元（该问题本身为一离散结构的力学问题），以①，②，③ 加以编号；取杆的铰接点为结点，以1、2、3加以编号（总体结点序号）如图2 — 2所 示，即：我们所讨论的桁架包括三个单元、三个结点各单元（杆）仅在结点处连接2、 建立总体坐标系 并确定结点坐标和自由度为了描述结构的平衡需要建立一个坐标系，称为总体坐标系，以区别于以后出现的“局 部坐标系”。

总体坐标系的选择原则上不受限制，但希望使用方便本节所选的总体坐标系 示于图2 — 2，坐标原点与结点1重合以u, v分别表示沿x, j方向的位移分量，p, q分 别表示力沿x, J轴的力分量（投影）在总体坐标系中各结点的坐标为：它们将作为程序的输入数据（几何参数）每个结点有两个自由度，对结点1、2、3分别为若暂时不考虑支承约束条件，整个结构的结点自由度 为3、单元分析（建立结点力与结点位移之间的关系） 取一个一般性的单元，设它的两个结点在结构中的编号为i, j （单元内部的结点序号）由材料力学可知，杆 图2 — 3的轴向刚度为EA/L其中L为杆的长度：L = A _ x ) +《—y、• j i j i(1) 单元局部坐标系现选取一典型单元对其进行单元分析，对所分析的单元按如下方式建立一个坐标系：原点：与结点，重合，x轴：沿i ,j方向，y轴：与x轴垂直如图2-3所示这个坐标系只属于一个单元，故称为单元局部坐标系，不同单元的单元局部 坐标系一般是不相同的在单元局部坐标系中可以规定：{ uj v，j}T ；v'. u j v j }T 结点自由度 ｛匕七｝T,单元结点自由度 ｛里'｝ = ｛ u.(2) 局部坐标系中的单元刚度矩阵单元必受到来自结点的作用力。

桁架中的杆只承受轴在外载荷作用下，结构发生变形， 向力S,大小与杆的轴向伸长AL成正比在局部坐标系中这种特性可以得到清楚的表述(这一点也是引入局部坐标系的理由之一)若以p, q, p'., q分别表示结点i, j作用于单元的力在x ', y'轴上的投影，由① II]]号单元的静力平衡有(图2-3)有(2-1-1)p，=-s = ~L ("，- u )卜q = q — 0 h用矩阵的形式可以写成p.q 'I EA〈/〉=——p Lj10-100000-10100-05uJi c0u0v—1jq1 j若引入单元广义力矢量:q'iq j”则上式可缩写为(2-1-2)其中(2-1-3)00-10 1000称为局部坐标系中的单元刚度矩阵，它只与杆的几个参数E、A、L有关，与杆的方位无关3) 坐标变换局部坐标系中的单元刚度矩阵公式简捷但不同单元的局部坐标系一般不同，为了研究 结构整体的平衡，必须将结点给单元的力以及相应的单元刚度矩阵转换到统一的坐标系一- 总体坐标系在总体坐标系中单元结点自由度｛业｝=｛气.七勺％ ｝T结点给单元的力 ｛乙｝ = ｛介£. P j qj ｝T在图2-3中，x'轴与x轴的夹角为asin a = LL结点的位移分量的坐标变换为v'cos asin a一 sin acos a〕cos asin a]r ?u「]「"> =j> =u4 j >一 sin acos a 1v[v1——Ij〔j J-> i-> i单元的位移分量的坐标变换为cosasin a-sin acosacosasin aIt』vi一 sin acosa或缩写为(2-1-4)类似，｛£'｝与｛町之间的转换关系为r ｝= Et 册(2-1- 5 )由于□=cos a—sin asin acos a(2-1-6)是正交矩阵，因此[t]=-1_00] t _(2-1-7)也是正交矩阵。

所以有[t L = [t L将(2-1-4)、(2-1-5)代入(2-1-2)有瑚=队购从上式可得到其中顷L1TK硕1)(2-1-8)k )=Hr L，]T](2-1-9)cos2 acos a sin a— cos 2 a—cos a sin aL ]_ EAcos a sin asin 2 a—cos a sin a— sin 2 aL—cos2a—cos a sin acos 2 acos a sin a(2-1-10)—cos a sin a— sin 2 acos a sin asin 2 a（4）具体结果由（2-1-10 ）可求得各单元的刚度矩阵的具体形式如下：单元①：单元自由度 风 七u2 v2 }t , a= 45单元刚度矩阵为称为单元在总体坐标系中的单元刚度矩阵以后将会看到，（2-1-9）是一个具有普遍意义的公式它表明，当单元的自由度由一种 形式换成另一种形式时，单元刚度矩阵只需进行一次相似变换对于平面桁架单元，将（2-1-3）、（2-1-6）、（2-1-7）代入（2-1-9）可得到更便于应用的单元刚度矩阵公式v2空-克4444巨<2—X1 2-巨4_ 4_-克-巨4_ 4_f 2 -巨4<2一 4<24_v2一 4 _V24444单元②：单元自由度 {u2 v2 u3 v3 }tEA 0000单元③：单元自由度 {U] v1 u3 v3 }tEA00(2-1-11)a = -90。

单元刚度矩阵为(2-1-12)a = 0单元刚度矩阵为0010(2-1-13)请注意，单元刚度矩阵与单元自由度中位移分量的排列次序有关如果改动这种排列次序， 例如对①号单元，将单元自由度次序由{u1 v1 u2 v2 }T改为{ u2 v2 u1 V1 }T，必然导致刚度矩阵（2-1-11）元素位置的变动5）单元刚度矩阵的物理意义和特点设平面桁架单元在总体坐标系中刚度矩阵的一般形式为kkkkii121314kkkk21222324kkkk31323334kkkk41424344kiik42k431k34k22k23k24* k13对图2-4中的各种情况，k + kk + k = 0 /—『才-(y — y \ = 0 * s = 1~ 4)j i 4 s j i 3 s据平面力系的平衡条件应有=0由（2-1-8）,当单元结点位移为｛1 0 0 0 ｝『时，在单元各结点上施加的力刚好为单元刚度 矩阵中的第一列：｛k11 k21 k31匕,对［k］的其他各列也可做出类似的解释即单元刚度 矩阵的每一列相当于一组特定位移下的结点力，如表2-1所示由图2-4可以获得更为直观 的理解表2-1平面桁架单元刚度矩阵的物理意义单元结点位移作用于单元的结点力(1 0 0 0 }t(k11 k21 k31 k41 }T(0 1 0 0 }t*12 k32 k‘2 产 (0 0 1 0 }th虹乩k43 }t(0 0 0 1 }t诉14 匕 k34 k44 }Tk44这三个关系说明，［k］的四个行向量中只有一个线性独立（四个元素有三个约束方程）。

从以上分析可以看出，一般的单元刚度矩阵均具备以下两个特征对平面桁架单元而 言，从（2-1-10）也可以得出这些结论）（i）单元刚度矩阵是对称矩阵，这是线性系统互易定理的具体体现由于对称性，对 行向量或列向量两者之一得到的结论，对另一个也适用ii）单元刚度矩阵是奇异矩阵它的行向量（或列向量）线性相关，具有零特征值， det［k］=0对平面桁架的单元刚度矩阵而言，它的四个行向量（或列向量）中只有一个线性 独立，而［k］有三个零特征值这三个零特征值对应的特征向量相当于三种独立的刚体位移 模式：两个平移，一个旋转这是我们在单元分析中不考虑位移约束条件的自然结果4、总体刚度矩阵的组装 总体平衡方程将图2-1所示的桁架中的支承约束以约束反力代替，如图2-5所示下面来建立平衡 问题的有限元方程1）结点平衡条件作用于图2-5每个结点上的外载荷、支座反力以及来自单元的力应处于平衡以q㈣、"示结点以作用于单元m的力在x,J轴上的投影，则单元m给结点i对结点2：对结点3；可以合并成叩'q1⑴p⑴2II'0 '0p (2) 2IIp1⑶、 q1(3)0II> =〈R1XR丫P一 >q 2⑴00 ,q2(2)00p (2) q 3(2)1 3」p (3)3q (3)30R1 37 JR - q(2) - q (3)= 037 3 3图2 — 5(2-1-14)的力在x, j轴上的投影应为 —p（m） 、一q.㈣。

对结点1：R - p ⑴-p ⑶=0R - q ⑴ 一 q(3)= 0 17 1 1P - p(1)- p(2) = 0-q2C1)- q2(2)= 0-p(2) - p (3) = 0式（2-1-14）的右边为外载荷和支反力左边则为单元给结点的力，它们是未知的，但可以 借助单元刚度矩阵以结点位移来表示2）单元刚度矩阵的扩充为了表示（2-1-14）左边的各个列向量，设想将每个单元的自由度扩充到与结构总体自 由度相同（本例为6），并在单元刚度矩阵中补充零元素，由（2-1-11）、（2-1-12）、（2-1-13） 和（2-1-8）可以用结点位移表示（2-1-14）左边的各列向量由单元①叩q1⑴〃⑴[_ EAq22(1)I "00由单元②由单元③•巨.巨-克444巨巨-巨444f 2-巨v244~T-.巨二44~r000000o o o 。