(完整版)曲线积分与曲面积分习题及答案.doc

第十章 曲线积分与曲面积分(A)1．计算，其中为连接及两点的连直线段2．计算，其中为圆周3．计算，其中为曲线，，4．计算，其中为圆周，直线及轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界5．计算，其中为内摆线，在第一象限内的一段弧6．计算，其中为螺线，，7．计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧8．计算，其中是从点到点的直线段9．计算，其中是从点到点的一段直线10．计算，其中为摆线，的一拱(对应于由从0变到的一段弧)：11．计算，其中是：1）抛物线上从点到点的一段弧；2）曲线，从点到的一段弧12．把对坐标的曲线积分化成对弧和的曲经积分，其中为：1）在平面内沿直线从点到；2）沿抛物线从点到点；3）沿上半圆周从点到点13．计算其中为，，，且从大的方向为积分路径的方向14．确定的值，使曲线积分与积分路径无关，并求，时的积分值15．计算积分，其中是由抛物线和所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性16．利用曲线积分求星形线，所围成的图形的面积17．证明曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值18．利用格林公式计算曲线积分，其中为正向星形线19．利用格林公式，计算曲线积分，其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界。

20．验证下列在整个平面内是某函数的全微分，并求这样的一个，21．计算曲面积分，其中为抛物面在平面上方的部分22．计算面面积分，其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面24．求抛物面壳的质量，壳的度为25．求平面介于平面，和之间部分的重心坐标26．当为平面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？27．计算曲面积分其中为柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前侧28．计算式中为球壳 的外表面29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积化成对面积的曲面积分，其中是平面在第一卦限的部分的上侧30．利用高斯公式计算曲面积：1），其中为平面，，，，，所围成的立体的表面和外侧2），其中为柱面与平面，所围立体的外表面31．计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：1），为立体，，，流向外侧；2），为椭球面，流向外侧32．求向理场的散度33．利用斯托克斯公式计算曲经积分其中为圆周，，，若从轴正向看去，这圆周取逆时针方向34．证明，其中为圆柱面与的交线35．求向量场，其中为圆周，36．求向量场的旋度37．计算，其中为用平面切立方体，，的表面所得切痕，若从轴的下向看去与逆时针方向B)1．计算，其中为抛物线由到的一段。

2．计算，其中为摆线，一拱3．求半径为，中心角为24的均匀圆弧(线心度)的重心4．计算，其中为螺线，，5．计算，其中为空间曲线，，上相应于从0变到2的这段弧6．设螺旋线弹簧一圈的方程为，，，它的线心度为，求：1）它关于轴的转动惯量；2）它的垂心7．设为曲线，，上相应于从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分8．计算，其中为圆周(按逆时针方向绕行)9．计算，其中为曲线，，，从到的一段10．计算，其中为方向为增大的方向11．验证曲线积分与路径无关并计算积分值12．证明当路径不过原点时，曲线积分与路径无并，并计算积分值13．利用曲线积分求椭圆的面积14．利用格林公式计算曲线积分，其中是圆周上由点到点的一段弧15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线的面积16．计算曲线积分，其中圆周，的方向为逆时针方向17．计算曲面积分，其中为抛物面在平面上的部分18．计算，其中是锥面被柱面所截得的有限部分19．求面心度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量20．求均匀的曲面被曲面所割下部分的重心的坐标21．计算曲面积分，其中22．计算，其中是平面，，，所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例23．计算，其中为椭球面。

24．计算，式中为圆锥面的外表面25．设，是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，、依次表示，沿外法线方向的方向导数证明：，其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式26．利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是螺旋线，，，从到的一段27．设是有两阶连续偏导数，求证：C)1．求曲线的弧长，从到2．计算，其中为悬链线3．求均匀的弧，，的重心坐标4．计算，其中是沿由点逆时针方向到的半圆周5．设在内有连续的导函数，求，其中是从点到点的直线段6．计算，沿着不与轴相交的路径7．已知曲线积分与路径无关，是可微函数，且，求8．设在平面上有构成内场，求将单位质点从点移到场力所作的功9．已知曲线积分，其中为逆时针方向曲线：1）当为何值时，使？2）当为何值时，使取的最大值？并求最大值10．计算其中为曲面的下侧11．计算，其中的方程为12．计算曲面积分，其中是曲线绕轴旋转一周所得曲面的外侧13．计算，其中为由点到点的上半圆周14．证明与路径无关，其中不经过直线，且求的值15．求圆锥的侧面关于轴的转动惯量16．选择，值使为某个函数的全微分，并求原函数17．计算曲面积分，其中为曲面，平面，所围立体外面的外侧。

18．证明1）；2）第十章 曲线积分与曲面积分(A)1．解：两点间直线段的方程为：， 故 所以2．解：的参数方程为， 则 所以 3．解：故4．解：如图：，，：，， ：，，∴ 5．解： ∴ 6．解：∴7．解：8．解：直线段的方程为，化成参数方程为 ，，，从1变到0 故 9．解：直线的参数方程为，，() 10．解： 11．解：1)原式 2)原式 12．解：1）的方向余弦，2），故3），故13．解：因为 故原积分与路径无关，于是原式 14．解：，，由，得，解得故当时，所给积分与路径无关 取计算，其中，，15．解：原式 又 ∴ 16．解取，，，可得面积设为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积 注：还可利用17．解：， ， 因为，所以积分与路径无关 取路径 原式18．解：， 原式。

19．解：， 原式 20．解：1），故是某个的全微分2）， 21．解：：，故原式 22．解：原式 这里为在第一象限部分23．解：，原式 24．解： 25．解：平面这部分的面积因而 故重心坐标为26．解：因为曲面积分有向曲面，所以当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解：，面积为0，，原式28．解：根据轮换对称，只要计算 ： 注意到：，再利用极坐标可得 于是原式29．解：原式，这里，，是的法向理的方向余弦而是平面在第一卦限部分的上侧，取30．解：1） 原式 20，， 故原式31．解： 2） 32．解：，，，，故33．解：取为平面，被所围成的部分的上侧，的面积为，的单位法向量为原式 34．证：平面的单位法向理由斯托克斯公式得左边 35．解：闭曲线是平面上的圆周(逆时针方向)，它的参数方程为，，，故环流量为.36．解：。

37．解：证平面合科立方体内的部分为，它在平面上的射影为，面积为，取平面的上侧，单位法向量，于是由斯托克斯公式得原式 B)1．解：的参数方程，则所以2．解： 所以 3．解：取坐标系如图，设重心坐标为，由扇形的对称性可知，又4．解： 所以5．解 所以 6．解： 1） 2） 7．解：由，，得，，故 故8．解：圆周的参数方程为，故9．解： 10．解：如图，：，：故原式 11．解：由于， 又，故曲线积分与路径无关，取折线，则原式 12．解：由于，，又故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线，得原式13．解：取参数方程，面积14．解：不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图，因为故，所以原式15．解：作代换，得曲线的参数方程 ，，由于， 从而，故面积 16．解：由于时，被积函数无意义，故所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点，作逆时针方向的圆周：，，使全部补所包围，在和为边界的区域内，根据格要公式，有∵ ，故上式为零∴。

17．解：：， 原式 18．解：：， 原式 19．解：半球壳的方程为 ： 20．解：质量为从而垂心的坐标为 即重心坐标为21．解：由于曲面得分成上下两部分，记成，，又由解得：，，所以 22．解：证在，，平面上的部分分别为，，，在面上的部分为故原式 (另解：可求得，由对称性可得原式也可用高斯公式)23．解：：，由轮换对称，只要计算积分再利用广义极坐标可得于是原式24．解：证，分别为锥面的底面和侧面而，，为锥面外法线的方向余弦：，则 又对上的任一点有故在各坐标平面上射影分别为，，于是 故原式25．证：由格林第一公式得同理两式相减得：26．解：设，其中为从到的直线段，则为封闭曲线，由斯托克斯公式得，其中是以为边界且与构成右手系的任曲面∴ 27．证： (C)1．解：，于是当时，有当时，有故当时，有2．解：，于是 。