1.1数的概念的扩展2.docx

《数系的扩充和复数的引入-----数的概念的推广》教学设计（北师大版选修1-2第4章第1节）一、 教材分析数系的扩充的过程体现了数学的发展与创造过程，同时也体现了数学发生发展的客观需要复数的引入实现了中学阶段数系的又一次扩充，其实在必修一学习指数函数的时候，就已经经历了一次指数扩充，指数可以扩充到任意的整数、分数、有理数和无理数现在通过这部分的学习，有助于学生体会数学理论产生与发展的过程，认识到数学的发展既来自外部的实际需求，也有来自内部的逻辑规律，形成正确的数学观通过复数的学习使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，为他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同时也为他们进一步学习高等数学、力学、电学等打下一定的基础教材在本节内容的处理上，突出数域的扩充，注重知识的形成过程，对于复数的概念不是直接给出，而是从学生已有的知识出发，先概括自然数到实数的结构关系，然后提出新的问题教材还在本章最后还提供了阅读材料——数的扩充由此可见，教材充分体现出复数的概念是由实际需求与数学内部矛盾引出来的二、 学情分析学生从小学到高中经历了一个完整的数学学习过程，对数系从自然数集逐步扩充到实数集有一定的认识。

另外学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课利用类比的思想对实数集进行扩充学生已经具备一定的数学抽象和逻辑推理的能力，但在实际应用方面还有待提高，老师可以适当引导，提出一些问题，让学生进行充分的讨论并回答，提高学生的核心素养三、 教学目标1、 知识与技能了解数系的发展原因和发展过程，理解复数的有关概念，复数的分类2、 过程与方法在经历数系的扩充过程中体验复数引入的必要性，体验数学的发现和创造过程，感知数学产生、发展的客观要求3、 情感、态度与价值观在经历数系的扩充过程中，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系通过引入数学史内容，感受数学家的研究精神四、 课程资源教材、教参、网络资源五、 教学重点与难点教学重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念教学难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成六、 教学方法与工具本节课是新授课，主要采用“问题发现”、“合作探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者和合作者并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣七、 教学安排（一）提出问题情境1：意大利数学家卡尔丹在研究数学时遇到这样一个问题：将数字10分成两个部分，使它们的积等于40，求这两个部分。

他求出的解使他大惑不解，甚至有些惶恐，大家愿意试试吗？设计意图：以数学家卡尔丹提出的问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣学生通过预算发现问题在实数集内不可解，引发认知冲突情境2:请分别在下列数集中解方程1、x+4=3，x∈N, 无解 x∈Z，有解2、2x=3，x∈Z, 无解 x∈Q，有解3、x2=3，x∈Q, 无解 x∈R，有解设计意图：打破原有认知结构，形成认知冲突，学生感受到数已不够用了，体现学习新知识的必要性数学概念引入的必然性和合理性让学生对数系扩充进行讨论，为什么要扩充？他们之间关系是怎样的？每次扩充带来了什么？实现了数系的三次扩充：自然数集（N）——整数集（Z）——有理数集（Q）——实数集（R）数系扩充的原因：生产实践的需要更是数学学科自身发展的需要扩充的共同特点：①增加新元素原数集是新数集的子集②原有运算性质和运算关系仍然成立设计意图：培养学生观察、概括和表达能力通过对前几次数集的扩充的梳理，为数系的再一次扩充，以及如何扩充打下了坚实的基础，让学生感受到数系扩充的合理性并提炼出书系扩充的一般原则，由此，突破本节课的一个难点情境3：为什么方程x2-10x+40=0在实数范围内无解？通过求根公式能不能把解的形式写出来看看？实数集不够用？怎么办？设计意图：从学生熟悉的问题开始，通过真实的数学史故事，在看似平淡的问题中设置疑问，激发学生的求知欲。

I的奥秘：为了解决x2=-1这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2=-1的根，即i×i=-1，再把这个新数添加到实数集中去，得到一个新数集，记作C，那么方程x2=-1在C中就有解 x=i了 设计意图：通过前面数系扩充的原因让学生自然而然的引入i，感受i的合理性和必然性教师讲述复数300年的发展史：1、印度数学家婆什伽罗（1114----约1185）第一个遇到x2=-1的人，当时他认为没有意义2、1484年，法国数学家舒开遇到解二次方程4+x2=3x 得到根的是x=32±94-3， 他认为这是不可能的 3、1545年卡尔丹在解x2-10x+40=0 时引入负数的平方根，并称他为“诡辩量” 4、1637年法国数学家笛卡尔给这样的数起名叫虚数，即“虚的数”与“实数”对应5、此后，德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，还用于微积分等方面虚数”被证明不虚了6、1748年欧拉对这类数进行了系统研究，得出欧拉公式，1777年欧拉首次用到符号 ‘i’，它满足 i2=-1， 称为虚数单位7、1747年法国数学家达朗贝尔指出a+b-1按照多项式的四则运算规则进行运算，所得结果仍然是a+b-1形式，使人们对虚数的认识又推进一步。

8、1797年丹麦数学家维塞尔首次提出实轴、虚轴，并以实轴、虚轴表示的平面表示这类新数 9、1799、1815、1816年德国数学家高斯证明了代数基本定理，首次引进“复数”，把复数与平面直角坐标系内的点一一对应起来 10、1837年爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对（a，b）定义了复数及其运算 历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才完成设计意图：通过介绍复数的发展史，感受数学家坚持不懈的探索精神，知道科学真理来之不易，激发学生努力拼搏的学习动力二）、建立复数概念①引入虚数单位i，规定i2=-1②原有运算性质和运算关系仍然成立i可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法和乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立i与3、4做加法、乘法及混合运算（减法、除法为逆运算，此处省略）只与一个实数做加法3+i4+i只与一个实数做乘法3i4i与一个实数先乘再与另一个实数相加4+3i=3i+43+4i=4i+3与一个实数先加再与另一个实数相乘(3+i)4=12+4i(4+i)3=12+3i请你试着再举几个例子，然后观察思考：是否都可以写成____+_____i形式？①复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数，我们称之为复数。

规定i2=-1，i是虚数单位②数的表示：复数通常用字母z表示，即z= a+bi(a,b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部③复数集：全体复数所组成的集合叫做复数集，集中C设计意图：通过复数发展的历史，进一步理解复数引入的必然性和重要性，掌握复数的有关概念三）、巩固新知例1、请表示出数学家卡尔丹问题中的两个数，并指出其中的实部和虚部例2、填写下表复数实部虚部2-3i-4i2+i260思考：根据复数a+bi中a、b的不同取值，可以将复数进行怎样的分类？复数的分类：实数、虚数和纯虚数①复数()，当时，就是实数． ②复数()，当时，叫做虚数．特别的，当，时，叫做纯虚数．实数集、虚数集、纯虚数集与复数集的关系？用上面的知识填写下表复数实部虚部实数虚数纯虚数2-3i-4i2+i260设计意图：让学生会根据一定的标准与不重不漏的原则尝试对复数进行分类，引导学生用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系，让学生合作交流，敢于用类比的思想去归纳整理形成知识的连贯性和系统性例3、实数m取什么值时，复数z=m+1+（2m-2）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数设计意图：通过具体问题让学生对复数的分类有更深的认识和理解。

让学生在实践中逐步实现认知发展，丰富感性和理性认识，熟悉复数相等的概念四）课堂小结 问题：请对本节课进行小结：1、知识 2、方法 3、感悟 设计意图：学生总结，教师提炼，在课堂交流中形成总结的模式和反思的习惯五）课后作业 作业：练习册A组（必做题），练习册B组（选做题） 思考题：复数集还能扩充吗？（结合本章阅读材料并查阅网上资料）设计意图：分层作业，照顾到各个层次的学生，让他们都能得到进步六）板书设计 数系的扩充和复数的引入复数的定义：复数的分类：复数集、实数集、虚数集和纯虚数的关系例题讲解学生展示与板演八、 教学反思1、充分展开数学概念的形成过程，发展学生的数学核心素养数学概念是数学知识体系中的核心环节，对于培养学生数学抽象能力的核心素养具有举足轻重的作用数学史上，虚数以及复数概念的引入经历了一个曲折的过程本节课将学生引入问题情境，激发学生的探究兴趣，让学生通过观察、思考、分析，积累丰富的感性和理性认识2、改变学习方式，课堂注重教向学的转移 数学作为一门重要的基础学科，学生如何掌握基础知识，如何把握解题技巧和了解思想方法，如何提高分析问题，解决问题的能力。

不但要靠老师的教，更重要的是学生会学，就是在学的过程中，充分发挥主体作用，加强学生之间的交流合作从中体验数学发现的快乐，感受数学的魅力，促进学生智力、情感和社会技能及创造力的发展3、充分渗透数学史，感受数学文化本节课一直围绕着复数的发展史，体会数系扩充的必要性和重要性，感受数学的魅力学习数学家刻苦专研的精神课后的作业则是让同学们了解更广阔的数域，体现关注学生终生发展的教育理念。