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第四章,4.4.2,第1课时,对数函数图象和性质(一) 　4 ．4.2 　对数函数的图象和性质 第 第 1 课时 　对数函数的图象和性质( 一) 学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图象特点． 　知识点一 对数函数的图象和性质 对数函数 y＝log a x(a0，且 a1)的图象和性质如下表 　y＝log a x (a0，且 a1) 底数 a1 0a1 图象 　 定义域 (0，＋) 值域 R 单调性 在(0，＋)上是增函数 在(0，＋)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0 函数值特点 x(0,1)时， y(－，0)； x[1，＋)时， y[0，＋) x(0,1)时， y(0，＋)； x[1，＋)时， y(－，0] 对称性 函数 y＝log a x 与 y＝1logax 的图象关于 x 轴对称 　思考 对数函数图象的"上升或"下降与谁有关？ 答案 底数 a 与 1 的关系决定了对数函数图象的升降． 当 a1 时，对数函数的图象"上升；当 0a1 时，对数函数的图象"下降． 知识点二 反函数 指数函数 y＝a x (a0，且 a1)与对数函数 y＝log a x(a0 且 a1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 　 1．若函数 y＝f(x)是函数 y＝3 x 的反函数，则 f 12的值为________． 答案 －log 3 2 解析 y＝f(x)＝log 3 x，f 　12＝log 3 12 ＝－log 3 2. 2．函数 y＝lg(x＋1)的图象大致是________．(填序号) 　答案 ③ 解析 由底数大于 1 可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是 y＝lg x 的图象向左平移 1 个单位长度(或令 x＝0 得 y＝0，而且函数为增函数)． 3．已知函数 y＝a x (a0，且 a1)在 R 上是增函数，则函数 y＝log a x 在(0，＋)上是________函数．(填"增或"减) 答案 增 解析 因为函数 y＝a x 在 R 上是增函数， 所以 a1，所以 y＝log a x 在(0，＋)上是增函数． 4．函数 y＝log a x＋1(a0，且 a1)的图象过定点________． 答案 (1,1) 解析 因为对数函数 y＝log a x 的图象过定点(1,0)， 所以函数 y＝log a x＋1 的图象过定点(1,1)． 　一、对数函数的图象及应用 例 1 (1)如图，若 C 1 ，C 2 分别为函数 y＝log a x 和 y＝log b x 的图象，则( 　) 　A．0ab1 B．0ba1 C．ab1 D．ba1 答案 B 　解析 作直线 y＝1，则直线与 C 1 ，C 2 的交点的横坐标分别为 a，b，易知 0ba1. (2)若函数 y＝log a (x＋b)＋c(a0，且 a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数 b＝________，c＝________. 答案 －2 2 解析 ∵函数的图象恒过定点(3,2)， 将(3,2)代入 y＝log a (x＋b)＋c， 得 2＝log a (3＋b)＋c. 又当 a0，且 a1 时，log a 1＝0 恒成立， c＝2,3＋b＝1，b＝－2，c＝2. (3)已知 f(x)＝log a |x|(a0，且 a1)满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象． 解 因为 f(－5)＝1，所以 log a 5＝1，即 a＝5， 故 f(x)＝log 5 |x|＝ log 5 x，x0，log 5 (－x)，x0. 所以函数 y＝log 5 |x|的图象如图所示． 　(教师) 延伸探究 1．在本例中，若条件不变，试画出函数 g(x)＝log a |x－1|的图象． 解 因为 f(x)＝log 5 |x|，所以 g(x)＝log 5 |x－1|， 如图，g(x)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的． 　2．在本例中，若条件不变，试画出函数 h(x)＝|log a x|的图象． 解 因为 a＝5，所以 h(x)＝|log 5 x|.h(x)的图象如图所示． 　反思感悟 对数函数图象的变换方法 (1)作 y＝f(|x|)的图象时，保留 y＝f(x)(x0)图象不变，x0 时 y＝f(|x|)的图象与 y＝f(x)(x0)的图象关于 y 轴对称． 　(2)作 y＝|f(x)|的图象时，保留 y＝f(x)的 x 轴及上方图象不变，把 x 轴下方图象以 x 轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合"左加右减，上加下减的规律． (4)y＝f(－x)与 y＝f(x)关于 y 轴对称，y＝－f(x)与 y＝f(x)关于 x 轴对称，y＝－f(－x)与 y＝f(x)关于原点对称． 跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝log a |x|＋1(a1)的图象大致为( 　) 　答案 C 解析 ∵函数 f(x)＝log a |x|＋1(a1)是偶函数， f(x)的图象关于 y 轴对称， 当 x0 时，f(x)＝log a x＋1 是增函数； 当 x0 时，f(x)＝log a (－x)＋1 是减函数， 又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选 C. (2)画出函数 y＝|log 2 (x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间． 解 函数 y＝|log 2 (x＋1)|的图象如图所示． 　由图象知，其值域为[0，＋)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是(0，＋)． 二、比较大小 例 2 (1)若 a＝log 2 3，b＝log 3 2，c＝log 4 6，则下列结论正确的是( 　) A．bac 　 B．abc C．cba 　 D．bca 答案 D 解析 因为函数 y＝log 4 x 在(0，＋)上是增函数，a＝log 2 3＝log 4 9log 4 61，log 3 21，所以bca. (2)比较下列各组中两个值的大小： 　①log 3 1.9，log 3 2； ②log 2 3，log 0.3 2； ③log a ，log a 3.14(a0，a1)； ④log 5 0.4，log 6 0.4. 　解 ①因为 y＝log 3 x 在(0，＋)上是增函数， 所以 log 3 1.9log 3 2. ②因为 log 2 3log 2 1＝0，log 0.3 2log 0.3 1＝0， 所以 log 2 3log 0.3 2. ③当 a1 时，函数 y＝log a x 在(0，＋)上是增函数， 则有 log a log a 3.14； 当 0a1 时，函数 y＝log a x 在(0，＋)上是减函数， 则有 log a log a 3.14. 综上所得，当 a1 时，log a log a 3.14； 当 0a1 时，log a log a 3.14. ④在同一直角坐标系中，作出 y＝log 5 x，y＝log 6 x 的图象，再作出直线 x＝0.4(图略)，观察图象可得 log 5 0.4log 6 0.4. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 跟踪训练 2 比较大小： 　(1)log a 5.1，log a 5.9(a0，且 a1)； (2)log 3 ，log 2 3，log 3 2. 解 (1)当 a1 时，y＝log a x 在(0，＋)上是增函数， 又 5.15.9，所以 log a 5.1log a 5.9； 当 0a1 时，y＝log a x 在(0，＋)上是减函数， 又 5.15.9，所以 log a 5.1log a 5.9. 综上，当 a1 时，log a 5.1log a 5.9； 当 0a1 时，log a 5.1log a 5.9. (2)∵log 2 3＝ 12 log 2 3， 又 1log 2 32， 12 log 231. 又 log 3 2＝ 12 log 3 212 ，log 3 1， log 3 log 2 3log 3 2. 　 1．函数 y＝log a (x－1)(0a1)的图象大致是( 　) 　答案 A 解析 ∵0a1，y＝log a x 在(0，＋)上单调递减，故排除 C，D； 又函数 y＝log a (x－1)的图象是由 y＝log a x 的图象向右平移一个单位长度得到的，故 A 正确． 2．若 a＝2 0.2 ，b＝log 4 3.2，c＝log 2 0.5，则( 　) A．abc 　 B．bac C．cab 　 D．bca 答案 A 解析 ∵a＝2 0.2 1b＝log 4 3.20c＝－1， abc. 3．下列式子中成立的是( 　) A．log 0.4 4log 0.4 6 　 B．1.01 3.4 1.01 3.5 　C．3.5 0.3 3.4 0.3 　D．log 7 6log 6 7 答案 D 解析 因为 y＝log 0.4 x 为减函数，故 log 0.4 4log 0.4 6，故 A 错；因为 y＝1.01 x 为增函数，所以1.01 3.4 1.01 3.5 ，故 B 错；由幂函数的性质知，3.5 0.3 3.4 0.3 ，故 C 错，log 7 61log 6 7，D 正确． 4．若函数 y＝f(x)是函数 y＝a x (a0，且 a1)的反函数，其图象经过点 32， 23，则 a＝________. 答案 2 解析 因为点 32， 23在 y＝f(x)的图象上， 所以点 23 ，32 在 y＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 所以 a 2 ＝2，又因为 a0，a＝ 2. 5．设 a1，函数 f(x)＝log a x 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 12 ，则 a＝________. 答案 4 解析 ∵a1，f(x)＝log a x 在[a,2a]上递增， log a (2a)－log a a＝ 12 ， 　即 log a 2＝ 12 ，12a ＝2，a＝4. 　1．知识清单： 　(1)对数函数的图象及性质． (2)利用对数函数的图象及性质比较大小． 2．方法归纳：图象变换、数形结合法． 3．常见误区： 　作对数函数图象易忽视底数 a1 与 0a1 两种情况． 　 1．函数 f(x)＝log a x(0a1)在[a 2 ，a]上的最大值是( 　) A．0 　B．1 　C．2 　D．a 答案 C 解析 ∵0a1， f(x)＝log a x 在[a 2 ，a]上单调递减， f(x) max ＝f(a 2 )＝log a a 2 ＝2. 2．函数 y＝a x (a0，且 a1)的反函数的图象过点( a，a)，则 a 的值为( 　) A．2 　B. 12 　 C．2 或12 　 D．3 答案 B 解析 方法一 函数 y＝a x (a0，且 a1)的反函数为 y＝log a x(a0，且 a1)， 故 y＝log a x 的图象过点( a，a)，则 a＝log a a＝ 12 . 方法二 ∵函数 y＝a x (a0，且 a1)的反函数的图象过点( a，a)，函数 y＝a x (a0，且 a1)的图象过点(a，。