高一数学专项复习基本求导法则与求导公式解析高中教育.docx

上面的讨论，我们得到了函数四则运算的导数，反函数与复合函数的导数以及基本初等函数的导数，把这些结论归dwdwdxlnw'(1du)1'1w11（7）当我们对复合函数运算法则熟悉以后，书写过程中的中间变可以利用这些公式以及求导法则较为容易的求出复杂函数的导数一、导数的四则运算：1．加、减运算：定理50定理5.9若函数u(x)在点x可导，函数y00证明：因函数yf(u)在点u可导，由引理知0f'(u：limx 0f ' (x) u' (x)v' (x) 即u(x x) v(x x)xu' (x) v' (x)u(x) v(x) ' u' (x) v' (x).xlim v(x x) v(x) xx 01 2n 1 2nx 0 x证明： f ' (x) lim u(x x) v(x x) u(x) v(x)xxu(x)v' (x)lim u(x) v(x x) v(x) 高一数学专项复习基本求导法则与求导公式解析.求导法则教学内容: 基本求导法则与求导公式.教学目的: 熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。

教学重点: 导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点: 复合函数求导法则及复合函数导数的计算教学方法: 讲授与练习教学学时: 4 学时● 引言：数学分析的基本运算之一就是求导运算，为了能够迅速、简便而又准确的求出一个函数的导数， 只依靠定义是远远不够的为此，本节课我们介绍导数的四则运算，反函数、复合函数的求导法则， 并由此推出基本初等函数的导数作为公式这样我们就可以利用这些公式以及求导法则较为容易的求 出复杂函数的导数一、导数的四则运算：1．加、减运算：定 理 5.5 若 函 数 u(x) 、 v(x) 在 点 x 可 导 ， 则 函 数 f (x) u(x) v(x) 在 点 x 可 导 ， 且证 f ' (x)明u(x) v(x) lim u(x x) u(x) x 0推论： u (x) u (x)u (x) ' u' (x) u' (x)u' (x).2．乘积运算：定理 5.6 若函数u(x) 、v(x) 在点 x可导，则函数 f (x) u(x) v(x) 在点x可导，且f ' (x) u' (x)v(x) u(x)v' (x) ，即 u(x)v(x) ' u' (x)v(x) u(x)v' (x).x 0 xlim u(x x) v(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x) x 0lim u(x x) u(x) v(x x)x 0u' (x)v(x)利用数学归纳法可将此结论推广：1'x，dydx（5）设ydydx3x2arctanx3；1(1x)(1x)1u221x2(1x)2再来讨论复合函数的求导法则，为得到复合函数求导公式，先引入如下引理：引理f(x)在点x可导在点x的某导，且'u'(x)v(x)u(x)v'(x).v(x)2 v'(x)v(x)2，1g(xx)g(xdududvdxdvdx1v2'1x2'x1x2再设ylnw，wxu，u1x2，来求，则dydxdy1 2 n 1 2 n 1 2 n1 2 nf ' (x) 即 limx 0sec xtanx；csc xcot x ；1x所以 f ' ( ) .g ' (x) limlimv(x x) v(x)x 0xf ' (x) u(x) g(x) ' u' (x) u(x) 推论： u (x)u (x) u (x) ' u' (x)u (x) u (x) u (x)u' (x) u (x)u (x)u (x) u' (x)cu(x) ' cu' (x) （ c为常数）例 1．设函数 f (x) cos xln x ，求 f ' ( ).解： f ' (x) cos xln x ' cos x ' ln x cos x ln x ' sin xln x cos x13．商运算：定理 5.7 若函数u(x) 、v(x) 在点 x可导，且v(x)u' (x)v(x) u(x)v' (x) u(x)v(x) 2 , v(x)证明：先证 g(x) 1v(x)在点 x可导，且有 g ' (x)10 ，则函数 f (x) u(x)v(x)在点 x 可导，且' u' (x)v(x) u(x)v' (x).v(x) 2 v' (x) v(x) 2 ，1g(x x) g(x)xx 0v(x x) v(x) 1x v(x x)v(x)v' (x).v(x) 2再由乘积运算法则有：u(x) ' 1 v' (x) u' (x)v(x) u(x)v' (x)v(x) v(x) v(x) 2 v(x) 2例 2．求以下函数的导数：（ 1）sec x ； （2）csc x ； （3）tan x ； （4）cot x.解：（ 1） sec x '（2） csc x '（3） tanx '（4） cot x '1cosx1sin xsin x cosxcosx sin x''''0 ( sin x) cos2 x0 cosx sin2 xcos2 x ( sin2 x)cos2 xsin2 x cos2 xsin2 xsec2 x；csc2 x .于是我们得到： tanx ' sec2 x ； cot x ' csc2 x ； sec x ' sec xtanx；csc x ' csc xcot x.）表示。

例5．求幂函数yx(R,x0)的导数解：幂函数yxelnxelnx可看成函数yeu与udy0，于是y1xlimx例3．求指数函数yax(a0,a1)的导数logy(y(0,))的反函数，所dududxlnx复合而成，由复合函数求导法则有x1.于是得到：x'x1四、基本求导法则与公式：通过邻域U(x)内存在在点x连续的函数H(x)，使得f(x)f(x)H(x)(x0x)，从而f'(x)Hsin x ' cos x上节我们还得到过结果： C ' 0；a'1log e,ln xa1.' (y) 0 ，则 f (x) 在点x(x ( y)) 可导，且 f ' (x)limx 0y xf ' (x)limy 0y 0 y1' (y) .R) 为对数函数x解：指数函数 y ax (x1log y ' 11logeya yln aax ln a ，即 ax ' ax lna .a2 2arcsin x '（2 ）由于函数 yarccosx '11sin y ' cos y11 sin2 yarccosx(x ( 1,1)) 是函数 xx ( 1,1) ；(0, )) 的反函数，所以1cos y '1sin y1111cos2 yxx； cos x ' sin x ； log x以上结果需要熟记！以后可直接应用。

二、反函数的导数：为了得到对数函数的反函数－指数函数以及三角函数的反函数－反三角函数的求导公式， 我们先 证明反函数求导公式：定理 5.8 设函数 y f (x) 为函数x ( y) 的反函数，若 ( y) 在点 y 的某邻域内连续，严格单调且1' (y) .证明： 设 x (y y) ( y) ， y f (x x) f (x) ，( y) 在点y 的某邻域内连续且严格单调其反函数y f (x)在点 x 的某邻域内连续且严格单调从而有 y 0 x 0 ， y 0 x 0 ，于是y 1 x lim x例 3．求指数函数 y ax (a 0,a 1) 的导数log y(y (0, )) 的反函数，所以a x 'a例 4．求下列函数的导数：（ 1）arcsin x ； （2）arccos x ； （3）arctan x ； （4）arc cot x .解：（1 ）由于函数 y arcsin x(x ( 1,1)) 是函数 x sin y( y ( , )) 的反函数，所以1,1 x2cos y(y,x ( 1,1) ；x2数的导数：（对数求导法）11 18.1（1）y(x5)2(x4)31(x2)5(x4)2（x4）；（；secx'secxtanx；cscx'cscxcotx.；cosx'sinx；logx以上结果需要x).2．乘积运算：定理5.6若函数u(x)、v(x)在点x可导，则函数f(x)u(x)v(x)在点再来讨论复合函数的求导法则，为得到复合函数求导公式，先引入如下引理：引理f(x)在点x可导在点x的某2 200 0 00 0令 H(x) x x0y f ( (x)) 在点x 可导，且 f ( (x )) '0存 在 在 点 u 连 续 的 函 数 F (u) ，0f (u) 在点 u0使 得 f (u) f (u ) F (u)(u01 1 1 。