用复变函数来表示平面向量场.ppt

2.4 平面场2.4.1 用复变函数来表示平面向量场物理上所谓“场”就是指每一点逗对应有物 理量的一个区域，在这里，只研究平行于一个平面的定常向量场，即场中的向量都平行一个平面S，而且垂直于S的任何一条直线上的内的场示点处的向量都是相等的，场中的向量于时间无关，显然，这种向量场在所有平行于S的诸平面内场的分布情况是完全相同的，因此它完全可以用于平行于S的平面图(2.4.1)图(2.4.2)在平面内取定直角坐标系，于是场中每一个具有分量图(2.4.2)便可用复数来表示由于场中的点可用复数来表示，所 以平面向量场可借助于复变函数：来表示，已知某以复变函数由此可作出对应的向量场为：同样，考虑垂直于均匀带电的无限长直导线 的所有平面上，电场分布情况完全相同，因 而可以取其中以平面作代表，当作平面定常 向量场来研究，由于电场强度向量所以该平面场可以用一个复变函数 来表示2.4.2 平面流体场设“流体是不可压缩”是指流体的密度不因压力的变化而变化取流体所在的平面为复平面，场内各点处的速度向量为：若在某一区间D内该场是无源的，那么：的全微分，即：是某一二元函数因而在这个函数的等值线上有上式表明，在曲线上，场的向量与该曲线相切，因此称此曲线为流线，称函数为流函数。

又若在区域D内，该场是无旋的，则有：所以的全微分，即：而因此是场的势函数，曲线称为等势线在等势线上，有：若在区域D内，该场无源又无旋，则有：因此，当上述四个偏导数连续时，构成一个解析函数，通常称此函数，为这个场的复势由(2.2.2)知于是有通常称是该场的复速度从上述讨论可以看到，一个无源无旋的平 面流体场的复势是一个解析函数，反之，已知 一个解析函数，由此可构造出一个平面流体场 ，而该流体场的复势正是这个解析函数来表示 ，这就是解析函数的物理意义除此之外，用复势来刻画流动比用复速度 方便，因为由复势求复速度只用到求导数， 反之则要用积分，而且由复势容易求流线和 势线，这样就可以了解流动的情况例 1 考查复势为故势线是流线是所以场中任一点的流速为 方向指向x轴正向该场的流动情况如（图2.4.3)所示，这 种流体称为均匀常流（实线表示流线，虚 线表示势线）流 线等势线图 (2.4.3)例 2 设原点是强度(在单位时间流出或漏去的液量）为N>0源头（或N<0的沟汇)而在无穷远处流体保持静止，并且在平面上没有其他的源头和沟汇，显然，流线是由原点发出的半射线，等势线是以原点为中心的圆周速度的大小仅与点z的模有关，方向与圆周的外法线的方向一致，因而流速向量可表示为：由于流体是不可压缩的，流体在任一圆环域内不能积蓄，所以流过圆周与的流量为（其中是的单位外法线向量 ，是弧微分）所以：而流量可表示为：显然它符合“在无穷远处静止状态”要求，由此可求得复势函数的导数为故所求复势函数为：进一步得到势函数和流函数分别为：该场的流体情况(图2.4.4)和(图2.4.5)所 示(实线表示流线，虚线表示势线）。

例 3 设原点是一个漩涡点，其强度为时间绕原点流动的液量为 ），上没有其他的漩涡点，在此情况，流线是以原点为中心的圆周，等势线是原点发出的射线，速度向量可表示为：(在单位在无穷远处流体保持静止状态，并且平面而沿圆周的环量（其中的单位向量，是弧微分）因而：所以仿例2可求得复势为：故该场得流动情况在时，如(图2.4.6)所示；在时， 如(图2.4.7)所示，图2.4.6图2.4.72.4.3 平面静电场取静电场所在得平面为复平面，场强向量为：我们知道，若在某一区域D内没有电荷（即 为管量场），则：从而知在区域D 内，是某一二元函数的全微分，即 ：与讨论流体场一样，在曲线上，场强向量与该曲线相切，因此称此 曲线为力线（即电力线），称此函数 为力函数据电学理论知道，平面静电场又是一个 势场，那么即有：因此在区间D内也是某一二元函数的全微分，即由此得：是场E的势函数，也可以称为场的电位或电势，等值线称为等势线或等位线所以若在某一区域D内，不含有电荷，则力函数 与势函数满足柯西－黎曼条件当上述四个偏导数连续时，从而可 得D内的一个解析函数(2.4.5)称这个函数位静电场的复势（或电位），场E可以用复势表示为(2.4.6)可见静电场的复势和电流场的复势相差一个因子通流体场一样，利用静电场的复势，可见研究场的等式线和电力线分布情况，描绘出该场的图形。

这是电工上的习惯用法，例 1周围所形成的电场，用q表示垂直于L在此平面上一点处的场强记为E.求E的表达式研究带有电荷的无限长直线L的据电学中的叠加原理，可将向量E看作是电荷qdh所产生的强度向量dE的和，将电荷qdh看作是集中于L上M点处的点电荷，由库仑定理，高度为h的点电荷qhd的场强向量dE的大小等于向量E在复平面上，它的大小等于dE在复平面上的投影之和，因而其中是向量dE与复平面的夹角，由直角三角形MOP有于是因此又由于向量E 的方向与向量方向相同于是仿例2 计算可得复势为该场的图形如（图2.2.9）所示，（实线表示力线，虚线是势线）。