微元法在流体模型中的应用例析.doc

1图 1微元法在流体模型中的应用例析浙江省温州中学（325014） 刘立军在中学物理中，往往遇到一些用常规方法难以解决的问题，如研究对象难以确定或研究对象不是理想模型（如质点、点电荷等） ，再如问题中所涉及到的物理量是非线性变化量，无法用初等数学进行计算等情况这时可以采取“微元法” ，即将所研究的对象或者所涉及的物理过程，分割成许多微小的单元，从而将非理想物理模型变成理想物理模型；将曲面变成平面；将曲线变成直线；将非线性变量变成线性变量，甚至常量然后选择微小的单元，利用常规的方法进行分析和讨论，能够简捷而迅速地得出结果流体模型（如水流、气流、粒子流等）具有连续性作用的特点，若从整体着手，便会有“山重水复疑无路”的痛苦，若运用“微元法”从微元下手，就会有“柳暗花明又一村”的惊喜，下面例举几例以供体会例题 1：高压采煤水枪出口的横截面积为 s，水的射速为 v，射到煤层上后水的速度变为零，若水的密度为 ρ,求水对煤的冲力解析：采用微元法分析，取冲到墙上的一小段水柱为研究对象，设这一小段水的质量为△m，则△m=ρv△ts，应用动量定理，取水平向左为正方向则有：F△t=P´-P=△mv=ρv△tsv 所以 F=ρv 2s 由牛顿第三定律得，水对煤层的冲力 F´=-F=-ρv 2s，其中负号表示方向水平向右。

例题 2：自动称米机已被许多粮店广泛使用但买者认为：因为米流落到容器中有向下的冲力，所以实际的米量不足，自己不划算；而卖者则认为：当预定米的质量数满足时，此刻尚有一些米仍在空中，这些米是多出来的，自己才真的划算因而双方争执不休，究竟哪方说得对还是都不对呢？解析：设米流的流量为 dkg/s,它是恒定的，自动装置能即刻在出口处切断米流，米流在出口处速度很小可视为零若切断米流后，盛米容器中静止的那部分米的质量为 m1kg，空中还在下落米的质量为 m2kg，则设落到已静止的米堆（m 1）上的一小层米的质量为△m在△t 时间内△m=d△t以△m 为研究对象，设其落到米堆上之前的速度为 v ,经△t 时间静止，其受力情况如图vFv△t煤层出口开关台秤图 2示F△mgv图 3 2示，由动量定理得：（F-△mg）△t=△mv 即 F=dv+d△tg 设米从出口处落到米表面所用的时间为 t，由于 m2=dt,v=gt(阻力不计) 可得：dv=m 2g 即 F=m2g+△mg 根据牛顿第三定律知 F=-F´，称米机的读数应为：M=N/g=(m 1g+F´)/g=m1+m2+△m 可见，称米机的读数包含了静止在袋中的米堆 m1，也包含了尚在空中的下落的米流m2，还包含了刚落到米堆上的一小部分米层△m,即自动称米机是准确的，不存在谁不划算的问题，双方说的都不对。

例题 3：来自质子源的质子（初速度为零） ，经一加速电压为 800kv 的直线加速器加速，形成电流为 1mA 的细柱形质子流已知质子电荷量 e=1.6×10-19C，这束质子流每秒打到靶上的质子数为多少？假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距 L 和 4L 两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为 n1和 n2则n1：n 2为多少？解析：（1）由电流的定义式 I=Q/t 得，每秒打到靶上的电荷量 Q=It=1×10-3C因此这束质子流每秒打到靶上的质子数为 n=Q/e=1×10-3/1.6×10-19=6.25×1015(2)设质子源到靶子之间均匀的加速电场场强为 E，则在相距 L 和 4L 两处，与质子源的电势差分别为 U1=EL，U 2=4EL，设质子通过这两处的速度分别为 v1和 v2，由电场力做功与电荷动能变化关系，可得：qU 1=1/2mv12, qU2=1/2mv22 故 v2=2 v1在这两处各取极短的相等的一段长度，可认为其间速度大小不变，因此有：v 1t1= v2t2 且在相同时间内通过任意一个截面的电荷量是相同的，即电流强度相等。

因此在这两处极短长度的质子流中含有的质子数，与其电荷量成正比，与通过这两处的时间成正比，所以有：n 1：n 2=Q1：Q 2=t1：t 2= v2：v 1=2“微元法”是研究物理问题时所采用的一种特殊的分析方法，通过以上几例可以看出，它是把研究对象分割为无限多个无限小的部分，或把物理过程分解成无限多个无限小的部分，然后抽取其中的一部分加以研究，通过对所抽取的这一部分的研究，就可以认知整体或全过程的性质和规律，它实质就是“从复合到单一，再从单一到复合”的综合分析思维方法2006．2．8。