第3章逻辑函数运算规则及化简解读.ppt

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式*1第3章 oo逻辑函数运算规则及化逻辑函数运算规则及化简简 3.1 概 述 逻辑函数的表示方法如下： 设输入逻辑变量为A、B、C、 ，输出逻辑变量为F当A、B、C、 的取值确定后，F的值就被唯一的确定下来，则称F是A、B、C、 的逻辑函数， 记为： F=f（A，B，C， ） 逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0或1，没有其它中间值 逻辑函数 真值表逻辑表达式逻辑图波形图和卡诺图3.2 逻辑代数的运算规则 3.2.1 逻辑代数基本公理 公理1： 设A为逻辑变量，若A0，则A1；若Al，则A0这个公理决定了逻辑变量的双值性在逻辑变量和逻辑函数中的0和1，不是数值的0和1，而是代表两种逻辑状态公理2： 式中点表示逻辑与，在用文字表述时常省略；加号表示逻辑或公理3： 公理4： 公理5： ； 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （1）0-1律： 2）自等律： 3）重叠律： 4）互补律： 5）还原律： 6）交换律： 7）结合律： 以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用0和1代入，所得的表达式符合公理2至公理5 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （8）分配律： 加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下： 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （9）吸收律： 证明： (10) 等同律： 证明： 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （11）反演律（摩根定理） 采用真值表法证明，反演律成立。

000011001101001110111100BAA B3.2.2 逻辑代数的基本定律 （12）包含律： 3.2.3 摩根定理 （1）逻辑变量“与”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“或”运算用公式表示如下： （2）逻辑变量“或”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“与”运算用公式表示如下： 上述两个定理也适用于多个变量的情形，如： 3.2.3 摩根定理 【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 解：反复应用摩根定理可得： 3.2.4 逻辑代数的基本规则 1代入规则 例 : A（B+C）=AB+AC，等式中的C都用（C+D）代替，该逻辑等式仍然成立，即 A（B+（C+D）=AB+A（C+D） 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立 3.2.4 逻辑代数的基本规则 2反演规则 对于任何一个逻辑表式F，若将其中所有的与“ ”变成或“+”，“+”换成“ ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 原则： (1) 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变 【例3-2】 已知逻辑函数 ，试求其反函数。

解： 而不应该是 2反演规则 原则： (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变或不属于单个变量上的反号下面的函数当一个变量处理 【例3-3】 已知 , 求 解法一： 解法二： 3对偶规则 对于任何一个逻辑表达式F，如果将式中所有的“ ”换成“+”，“+”换成“ ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，原表达式中的运算优先顺序不变那么就可以得到一个新的表达式，这个新的表达式称为F的对偶式F* 【例3-4】 已知 ，求 解： 【例3-5】 已知 ，求 解： 3对偶规则 对偶式的两个重要性质：性质1：若F（A，B，C，）=G（A，B，C，），则 F*=G*性质2：（F* ）*= F 【例3-6】 证明函数 是一自对偶函数证明： 3.3 逻辑函数表述方法 3.3.1 逻辑代数表达式 3.3.2 逻辑图表述 【例3-7】 分析图3-1逻辑图的逻辑功能解：由图可知 ABSC图 3-1 例3-7的逻辑图 3.3.3 真值表表述 【例3-8】 列出函数Y=AB+BC+CA的真值表解： 表3-2 例3-8的真值值表ABCY00000010010001111000101111011111 从真值表中可以看出，这是一个多数表决通过的逻辑函数，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上为1时，输出变量Y为1。

3.3.4 卡诺图表述 (a) 2变量卡诺图 (b) 3变量卡诺图 (c) 4变量卡诺图 图3-2 2、3、4变量的卡诺图 m20m21m23m22m18m19m17m1610m28m29m31m30m26m27m25m2411m12m13m15m14m10m11m9m801m4m5m7m6m2m3m1m000100101111110010011001000 CDEAB图3-3 5变量的卡诺图 3.4 逻辑函数的标准形式 3.4.1 最小项表述 1最小项的定义 设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项 2最小项的性质(a) 对于任何一个最小项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“1”b) 相同变量构成的两个不同最小项逻辑“与”为“0”c) n个变量的全部最小项之逻辑“或”为“1”，即：(d) 某一个最小项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反函数中e)n个变量构成的最小项有n个相邻最小项f) 例， 与 是相邻最小项 3.4.2 最大项表述 1最大项的定义 设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“或”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，这个“或”项称为最大项。

2最大项的性质(a) 对于任何一个最大项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“0”例，只有变量ABCD=0000时（每一变量都为0时），才有A+B+C+D为“0”b) 相同变量构成的任何两个不同最大项逻辑“或”为“1”例，M4+M6=(c) n个变量的全部最大项之逻辑“与”为“0”，即：(d) 某一个最大项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反变量 中e) n个变量构成的最大项有n个相邻最大项例， 与 是相邻最大项 3最小项与最大项的关系 下标i相同的最小项与最大项互补，即 例如， ，即为： 3.4.3 标准与或表达式 【例3-9】将 展开为最小项之和的形式 【例3-10】将 写成标准与或表达式 3.4.4 标准或与表达式 【例3-11】将 =m（0，2，3，6）展开为最大项之积的形式 【例3-12】 将 写成标准或与表达式 3.4.5 两种标准形式的相互转换 对于一个n变量的逻辑函数F，若F的标准与或式由K个最小项相或构成，则F的标准或与式一定由 个最大项相与构成，并且对于任何一组变量取值组合对应的序号i，若标准与或式中不含mi，则标准或与式中一定含Mi 【例3-13】 将标准与或表达式 表示为标准或与表达式。

3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换 1由真值表求对应的逻辑函数表达式 M7M6M5M4M3M2M1M0m0m1m2m3m4m5m6m7011101000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1最大项最小项FA B C表3-3 真值表 3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换 2由逻辑函数表达式求对应的真值表 步骤 在真值表中列出输入变量二进制值的所有可能取值组合 将逻辑函数的与或（或与）表达式转换为标准与或（或与）形式 将构成标准与或（或与）形式的每个最小项（最大项）对应的输出变量处填上1（0），其它填上0（1） ：111； ：110； :011 在真值表中，输入变量二进制值111、110、011对应的输出变量处填上1，其它填上0即得该函数的真值表 例， 3.5 逻辑代数化简法 3.5.1 并项化简法 【例3-14】 化简 【例3-15】 化简 【例3-16】 化简 3.5.2 吸收化简法 【例3-17】 化简 【例3-18】 化简 【例3-19】 化简 3.5.3 配项化简法 【例3-20】 化简 【例3-21】 化简 方法 3.5.3 配项化简法 【例3-22】 化简 方法 3.5.4 消去冗余项化简法 【例3-23】 化简 【例3-24】 化简 【例3-25】 化简 3.5.4 消去冗余项化简法 【例3-26】 化简 3.5.4 消去冗余项化简法 【例3-27】 化简 解：(1) 先求出F的对偶函数，并对其进行化简： (2) 求 的对偶函数，便得F的最简或与表达式: 3.6 卡诺图化简法 3.6.1 与或表达式的卡诺图表示 【例3-28】用卡诺图表示下面的标准与或表达式：101010111001000010 CDABABCABCABC图3-4 标准与或表达式的卡诺图 解：3.6.1 与或表达式的卡诺图表示 【例3-29】 用卡诺图表示逻辑函数：解： 图3-5 非标准与或表达式的卡诺图例子 3.6.1 与或表达式的卡诺图表示 【例3-30】用卡诺图表示逻辑函数： 图3-6 非标准与或表达式的卡诺图 解：在变量A、D取值均为00的所有方格中填入1；在变量B、C取值分别为0、1的所有方格中填入1，其余方格中填入0。

3.6.2 与或表达式的卡诺图化简 1卡诺图化简原理 图3-7 逻辑相邻最小项的概念 m10m11m9m810m14m15m13m1211m6m7m5m401m2m3m1m00010110100 CDAB3.6.2 与或表达式的卡诺图化简 2卡诺图化简的步骤 步骤1：对卡诺图中的“1”进行分组，并将每组用“圈”围起来 步骤2：由每个圈得到一个合并的与项 步骤3：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简“与或”表达式 3.6.2 与或表达式的卡诺图化简 【例3-31】用卡诺图化简法求出逻辑函数：F（A, B, C, D）=m（2, 4, 5, 6, 10, 11,12,13, 14, 15）的最简与或式 图3-8 例3-31的卡诺图11001011111110110110000010110100 CDAB解： F（A, B, C, D）= 【例3-32】某逻辑电路的输入变量为A、B、C、D，它的真值表如表所示，用卡诺图化简法求出逻辑函数F(A, B, C, D)的最简与或表达式解： ABCDFABCDF00001100010001010010001001010100110101100100111001010111101001100111000111011111表3-4真值表 图3-9 例3-32的卡诺图 10011001011100110100010010110100 CDAB3.6.2 与或表达式的卡诺图化简 【例3-33】用卡诺图化简法求出逻辑函数：F(A, B, C, D) =m(0, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14) 的最简与或式。

解： 11011010011110010111010010110100 CDAB图3-10 例3-33的卡诺图 F（A，B，C，D）= 3.6.3 或与表达式的卡诺图化简 1或与表达式的卡诺图表示 解： 图3-11 标准或与表达式的卡诺图 【例3-34】用卡诺图表示下面的标准或与表达式：01001100100010 CABA+B+C101A+B+C110A+B+C010A+B+C000 【例3-35】用卡诺图化简下面或与表达式： 解： 图3-12 例3-35的卡诺图 2或与表达式的卡诺图化简 A+C011010111001100010 CAB解： 图3-13 例3-36的卡诺图 3.6.4 含无关项逻辑函数的化简 最小项表达式： 或者 【例3-36】化简下列函数：F(A, B, C, D) = m(0, 3, 4, 7, 11) +d (8, 9, 12, 13, 14, 15) 01101101010101010010110100 CDAB解： 图3-14 例3-37的卡诺图 3.6.4 含无关项逻辑函数的化简 【例3-37】化简函数： ：已知约束条件为： 1110011000111010010110100 CDAB解： 图3-15 例3-38的卡诺图 3.。