函数的极值及其求法.ppt

函数的极值及其求法由单调性的判定法则，结合函数的图形可知 ，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数 在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处 的函数值函数的这种性态以及这种点，无论在 理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值 得我们作一般性的讨论一、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明由单调性判定法则知，若可疑极值点的左 、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问 题即可得到解决定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理3(第二充分条件)证例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点， 例5 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值证分两种情况讨论①所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值②设f ( a ) 是f ( x )的极小值，且又f ( x )在 x = a 处连续，且f 2( a )是 f 2( x )的极大值同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极大值的情况例6 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时， f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时， f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n为奇数，当x 渐增地经过x0时变号不变号变号不是极值②n为偶数，当x 渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且当时是极小值 当时是极大值极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)三、小结思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．。