1997年考研数学（一）真题及答案解析.pdf

1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1) . (2) 设幂级数的收敛半径为 3,则幂级数的收敛区间为 . (3) 对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 . (4) 设,为三阶非零矩阵,且,则 = . (5) 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 二元函数在点处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 (2) 设在区间上令, ,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 则 ( ) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 (4) 设则三条直线, 2013sincoslim(1 cos )ln(1)xxxxxx0nnna x11(1)nnnnaxe2( , )(,)2e 12243311AtB0AB t22, ( , )(0,0),( , )0, ( , )(0,0)xyx yxyf x yx y(0,0) , a b( )0,( )0,( )0,f xfxfx12( ),( )()baSf x dx Sf b ba31 ( )( )()2Sf af bba123SSS213SSS312SSS231SSS2sin( )sin,xtxF xetdt设( )F x111122232333,abcabcabc1110a xb yc2220a xb yc全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 18 页 (其中)交于一点的充要条件是 ( ) (A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 秩秩 (D) 线性相关,线性无关 (5) 设两个相互独立的随机变量和的方差分别为 4 和 2,则随机变量的方差是 ( ) (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 三三、( (本本题题共共 3 3 小小题题, ,每每小小题题 5 5 分分, ,满满分分 1 15 5 分分. .) ) (1) 计算其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域. (2) 计算曲线积分,其中是曲线从 轴正向往轴负向看,的方向是顺时针的. (3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为,在时刻已掌握新技术的人数为,在任意时刻 已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数求. 四四、( (本本题题共共 2 2 小小题题, ,第第( (1 1) )小小题题 6 6 分分, ,第第( (2 2) )小小题题 7 7 分分, ,满满分分 1 13 3 分分. .) ) (1) 设直线在平面上,且平面与曲面相切于点,求之值. (2) 设函数具有二阶连续导数,而满足方程,求. 五五、( (本本题题满满分分 6 6 分分) ) 3330a xb yc220,1,2,3iiabi123, 123, 123(,)r 12(,)r 123, 12, XY32XY22(),Ixy dV22 ,0yzxz8z ()()()Czy dxxz dyxy dz C221,2,xyxyzzzCN0t 0 xt( )x t( )x t0,k ( )x t0,:30 xybLxayz22zxy(1, 2,5), a b( )f u(sin )xzf ey22222xzze zxy( )f u全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 18 页 设连续,且(为常数),求并讨论在处的连续性. 六六、( (本本题题满满分分 8 8 分分) ) 设证明： (1) 存在； (2) 级数收敛. 七七、( (本本题题共共 2 2 小小题题, ,第第( (1 1) )小小题题 5 5 分分, ,第第( (2 2) )小小题题 6 6 分分, ,满满分分 1 11 1 分分. .) ) (1) 设是秩为 2 的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基. (2) 已知是矩阵的一个特征向量. () 试确定参数及特征向量所对应的特征值； () 问能否相似于对角阵？说明理由. 八八、( (本本题题满满分分 5 5 分分) ) 设是阶可逆方阵,将的第 行和第行对换后得到的矩阵记为. (1) 证明可逆； (2) 求. 九九、( (本本题题满满分分 7 7 分分) ) 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望. 十十、( (本本题题满满分分 5 5 分分) ) 设总体的概率密度为 ( )f x10( )() ,xf xt dt0( )limxf xAxA( )x( )x0 x 11112,(),1,2,.,2nnnaaanalimnna111nnnaaB5 4123(1,1,2,3) ,( 1,1,4, 1) ,(5, 1, 8,9)TTT 0Bx 0Bx 1112125312Aab, a bAAnAijBB1AB25XXX(1), 01,( )0, xxf x其它，全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 18 页 其中是未知参数.是来自总体的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量. 1 12,nx xxXn全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 18 页 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】 【分析】这是型极限.注意两个特殊极限. 【解析】将原式的分子、分母同除以,得 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是应存在或为,而本题中, 极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则. 【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】 【解析】考察这两个幂级数的关系.令,则 . 由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,的收敛半径为 3 的收敛半径为 3.从而的收敛半径为 3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数,它的收敛区间为,即. 评注：评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于,若它的收敛半径是.但是若只知它的收敛半径为,则,因为可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形). (3)【答案】 【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率,而可由的参数方程 320000sinln(1)lim1,lim1xxxxxxx2001sin13sincos3cos3limlim.ln(1)(1 cos )ln(1)2(1 cos )xxxxxxxxxxxxxx0( )lim( )xxfxg x200111(3sincos)3cos2 cossinlimlim1 cos(1 cos )ln(1)sin ln(1)1xxxxxxxxxxxxxxx( 2,4)1tx1212111nnnnnnnnnna ttna tta t1nnna t1nnna t2111nnnnnnta tna t11(1)nnnnax313x ( 2,4)0nnna x1limnnnaa1RR11limnnnaaR1limnnnaa2xyexkyxye全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 18 页 求得： , 所以切线的方程为,即. 评评注注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系. (4)【答案】 【解析】由,对按列分块,设,则 , 即是齐次方程组的解. 又因,故有非零解,那么 , 由此可得. 评评注注：若熟悉公式,则,可知,亦可求出. (5)【答案】 【解析】方方法法 1 1：利用全概率公式. 求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题. 设事件“第 个人取得黄球”,则完全事件组为(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知 ； (第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成,球的总数变成,第二个人取得黄球的概率就为)； (第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为 20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为). 故应用全概率公式 . coscos ,sinsinxeye 2sincossincos,1cossincossinxxyeeyyxee 2(0)yex 2xye3t 0AB B123,B 123123,0,0,0ABAAAA 123, 0Ax BO0Ax 12210243433730311301Attt3t 0AB ( )( )3r Ar Bn( )3r A 3t 25iA i1,2i 11,A A 1202505P A黄球的个数球的总数 1303505P A白球的个数球的总数2120 119|50 149P AA20 119 50 149 19492120|49P AA2049 21211212 193 202|5 495 495P AP A P AAP A P AA全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 18 页 方法二：方法二：利用“抽签原理”. 只考虑第二个人取得的球,这 50 个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有 20 个,所以第二个人取到黄球的概率为. 【相关知识点】1.全概率公式: ； 2. 古典型概率公式：. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(C) 【解析】这是讨论在点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义 , 由于 , 偏导数且. 再看在是否连续？由于 , 因此在不连续.应选(C). 评注：评注： 证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数在某点不连续的方法之一是：证明点沿某曲线趋于时,的极限不存在或不为. 证明不存在的重要方法是证明点沿两条不同曲线趋于时,的极限不想等或沿某条曲线趋于时,的极限不存在. 对于该题中的,若再考察 , 不存在. 202505 2121121|P AP A P AAP A P AA()iiAP A 有利于事件 的样本点数样本空间的总数( , )f x y(0,0)00(0,0)(0,0)( ,0),(0, )xyfdfdf xfyxdxydy( ,0)0(),(0, )0()f xxfyy (0,0)(0,0)0,0ffxy( , )f x y(0,0)222( , )(0,0)01lim( , )lim(0,0)2x yxy xxf x yfxx( , )f x y(0,0)( , )f x y000(,)Mxy( , )x y0M( , )f x y。