坐标数控加工的数值计算.ppt

第五章 二坐标数控加工的数值计算,大家知道，数控系统的运动控制指令中，一般只有直线和圆弧指令，对于三坐标以上的数控系统，仅有直线指令；那么用数控机床加工除直线和圆弧之外的其他平面曲线，就只能用直线和圆弧组成的近似折线来逼近曲线51 平面曲线的直线逼近,511 平面曲线的理论刀具轨迹,不失一般性，设所加工的曲线处在 平面，且以参数方程的形式出现,（511）,在定义域内具有,连续性质1理想刀具轨迹,设用一半径为R的立铣刀加工一平面曲线,，如图,511所示一般加工平面曲线采用两坐标联动机床即可我们,选定铣刀的旋转轴线上固定的一点作为刀具中心，由于R的存在，理想的刀具轨迹只能是一条 的,等距线,那么等距线 的定义如下：,图511,（5-1-2）,式（5-1-2）中，,为第二章中定义的,平面曲线的法线矢量，,R为,和,之间的距离，R前面的号表示等距线的,的内外，规定“”为内，“”为外那么,的具体表达式是,（5-1-3）,2,刀具最大半径的确定,式（5-1-3）中，刀具R的半径可大可小，一般情况下应尽量使R大些，但也不是大得没有限制如图511中，如果被加工曲线 的曲率半径的表达式为,（,为,的曲率表达式），则,的最小值为,（5-1-4）,那么，当选用半径为R的刀具进行切削时，R的值必须,满足下面条件,（5-1-5）,这里,是实际应用刀具半径R的最大值，一般选,只有这样，才不会因R过大出现干涉现象。

512 平面曲线的直线逼近原理,1用折线逼近曲线时步长的确定,如图512所示，当以直线段组成的折线逼近曲线时，直,线段的长度是和逼近误差息息相关的，不能随心所欲曲率越,大的地方、要求加工误差小的地方逼近的直线段越短图512,图513,如图513所示，在曲率半径为,的曲线段附近，可以近似把该段曲线段,看作半径为,的圆弧，当用,代替,时，其弓高,为逼近误差，显然，,是和,成正比关系的由图513，得,和,之间的关系表达式,整理得,（5-1-6）,3进给步长坐标分量的计算,对于数控加工编程来说，确定步长,的最终目的是计算它,在坐标轴上的分量,、,对于给定的曲线,，,和,之间,的步长为,（517）,那么有,，,（518）,现在的问题是，当,给定后，如何确定,，使式（518）,计算的,、,满足式（517）：,（1）如果曲线,的参数是自然参数或近似累加弧长参数s，,则直接取,，通过式（518）计算出来的,、,能自,动满足式（517）2）如果曲线,的参数不是自然参数或累加弧长参数，最,常用的方法是搜索法，即使,由0逐步增大至,代入式（5-1-7）,计算出对应的,当,（,为事先给定的误差）时，,即,为所求。

这个方法的缺点是搜索时间较长，且不确定，一般不能,用在实时控制系统中；虽然实际步长,与理论给定步长,有一,定的误差,但计算的折线刀具轨迹只有弓高误差，而没有累积误,差，因此该方法是实用的4确定最大进给速度,又和刀具进给速度V成正比那么，要想减小误差，,就要降低进给速度；另外一方面，当曲线弯曲比较厉害时，,要想减小误差，也要降低进给速度由图512可知，进,给速度V和曲率半径之间有如下关系：,（519）,式中，,为给定比较误差，,为数控系统时间常数，,为给,定误差和给定曲线的前提下，刀具的最大进给速度52 平面曲线的圆弧拟合,521 圆弧拟合问题的提出,如图521所示，用分段直线,代替曲线 C，,虽然能够满足一定的精度要求，但是在型值点,图521,上的斜率,是不连续的因为,段的斜率,为,，,段的斜率为,，所,以对,点来说，左右斜率有一个,跳跃值，即,如果需要有连续的斜率，线,性拟合就不能满足要求，这时可,采用圆弧拟合所谓,圆弧拟合,就,是用分段圆弧代替曲线并且相邻两个圆弧有公切线下面举一个用线切割机加工机翼模型的例子来说明圆弧拟合,的做法图522,某机翼模型的形状如图522所示设圆,O,的半径为p，圆,的半径为,q,，,的坐标为(,a，b,),；又设机翼上缘的一些离散点,是,现在,要用分段圆弧光滑地连接这,些离散点并使它和圆,和圆,都相切。

从圆的方程,知道，要确定一个圆必须,有三个独立条件例如，过不在同一直线上的三点可作一个圆；,已知两点和其中一点的切线斜率也可以确定一个圆等等所以，我们对上述问题作如下的考虑：,图523,如图523所示，过,作圆,使和圆,O,相切，过,作圆,使它和,圆,相切，依此类推,由此可知，要确定这些圆只要解决,下面,三类问题,就够了：,(1)已知圆,O,和圆外两点,，,求圆,P,，使它通过,并且和圆,O,相切；,(2),已知圆,Q,和圆外一点,求圆,P,，,使它通过定点,并且和圆,Q,相切于定点,；,(3),已知圆,Q,和圆,求圆P，使它和圆,相切，并且和圆,Q,相切,于定点,522 圆弧拟合问题的解决方法,由上面分析可知，切割机翼模型的问题中求圆,属于第一类；,求圆,，圆,，属于第二类；,求圆,属于第三类下面分别,就这三类问题进行具体计算1第一类问题的解决方法,如图523所示，定圆,O,的半径是,r,，我们取,O,点为坐标系,的原点设所求的圆,P,和定圆,O,的切点的坐标为,我们,只要确定圆,P,的圆心,就可以了因为,是它的半径，,点是圆,O,和圆,P,的切点，所以,P,必须在直线,上，且有,(521),图523,其中,。

如果圆,O,和圆,P,内切，,，如图523所示；如果圆,O,和圆,P,外切，则,另一方面，,P,又必须在,的垂直平分线上,现在令,的中点为,B,，则,那么和,垂直的一个向量为,于是,P,的坐标可写为,(522),其中,l,表示从 B点算起到 P点的距离，应取正值假定,时恰好为所求的P，从(521)得到,展开两边并加以整理，容易得到,式中令,两边平方的结果是,其中,从此解出,(523),应取正值如果它有两个解，分别表示内切和外切两种情况，,我们可以根据具体问题选取其中的一个解将(523)代人(522)即得圆心,P,的坐标P,点到,A,i,点的距离,就是半径,(524),为求,，首先写出直线,PO,的方程,其中,为直线,PO,上从 P点量起的距离，由此立即可得,(525),综上所述，(523)，(522)，(524)，(525)表,达了第一类问题的解2.,第二类问题的解决方法,图524,如图524所示，定圆的圆心为,Q(s，t),，半径为,r,设所求的圆,P,的圆,心为,，半径为,R,P,既要在,的垂直平分线上，又要在,的连线上，,所以只要求出这两条直线的交点就可以,了直线,的方程为,(526),的垂直平分线 BP的方程为,(527),其中,从(526)，(527)得出,(528),圆,P,的半径是,(529),3,.第三类问题的解决方法,如图525所示，圆Q的圆心的,坐标为,图525,，半径为,r,，,A,点的坐标为,圆,O,的圆心坐标为,r,假定所求的圆心,P,点的坐标为,半径为,，半径为,R,，它和圆,O,的切点为,因为圆,P,和圆,Q,相切于,A,点，所以,P,在,AQ,的连线上，而且这条连线的斜率是,因此，直线,AQ,的方程为,(5210),现在把它写成参数形式,（5211）,其中,l,表示了从A点到(,x，y,)的距离。

如果我们取,l,为圆,O,的半径,r,，便得到,QA,上的一点,Q,，使,AQ=r,从(5211)知道,Q,的坐标,因为,PAPA，AQAO r,，所以,PQPO,，因此,P,在,QO,的垂直平分线上QO,的中点,B,的坐标,u，v,为,而且,QO,的垂直平分线的方程为,(5212),其中,从(5210)，(5212)解得,P,点的坐标：,和圆,P,的半径,为求,A,，我们写出直线,PO,的方程,其中,，,d,表示,P,点到,的距离因为,所以,A,的坐标为,（5215）,综合起来，我们从(5213)，(5214)和(5215)依次,得到圆,P,的圆心坐标、半径及其和圆,O,的切点,A,等对于上述三类问题有了解决办法，机翼切割问题就被解决了53 平面曲线的双圆弧逼近,531 双圆弧拟合的定义及连接点轨迹,用圆弧来逼近三次曲线最简单的是用两段圆弧，即所谓双,圆弧逼近方法面对一条给,定的平面三次样条曲线，作如下改造：,首先，为了让双圆弧插值具有良好的光顺性，找出局部三次,样条上的全部拐点，,将它们作为新型值点插入原有型值点之间，而,仍旧记作,，这样一来，局部三次样条的每一段内就不含有拐点；,然后，计算出对应,的局部三次样条在每个型值点处的切线,；最终，把整个样条曲线中每每相邻两点之间的三次曲线扬弃,而代之以两段圆弧。

下面以曲线中任意相邻两点,为例子来讨论双圆弧的定义省略指标,i,，用,和,表示相邻两个型值点，而且用,和,表示这段局部三次样条在,分别,和,处的切线定义,如图531所示，设两点,图531,和,，及其两切线,和,都被给定引两段圆弧,和,，,使满足下列条件,(1),过,且切于,，,过,且切于,；,(2),和,在连接点,相切,这样的方法称为,双圆弧插值P28,P27,从定义看出，双圆弧插值其实是一种几何形式的C,1,连续的,Hermite插值我们知道平面上的圆弧唯一地决定于三个条件（如：圆心,坐标、起点坐标、终点坐标，,或圆心坐标、起点坐标、圆弧对,应的圆心角，等等），,从而双圆弧插值包含6个自由度可是从,定义我们只有5个条件，,所以还剩下一个自由度这表明连接点,并不唯一确定我们将阐明：它的轨迹是过,和,的一段圆弧设两切线,和,相交于,点，两圆弧,和,在 P点相切它们在,P,点的公切线,和,、,分别相交于,、,两点,（图,531,）图中还标明了一些有向夹角,、,、,、,、,在以后的运算中要特别注意这些角的符号是等腰三角形（,和,是同一圆弧不同两点的切线），,所以,P26,（,三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和）,于是,(531),同样，,是等腰三角形，所以，,(,)是等腰三角的等角),则有,(532),在,中，,(533),P26,因此，切点(连接点)P的轨迹是通过,的一段圆弧，记作,C,。

和,容易看出，,的内心,N,也满足,(533)式就是说，内心N落在圆弧,C上(图532),图532,如前所述，,和,之间的样条曲线,段上无拐点，,因此双圆弧不允许出现反,弯的连接方式,为了保证做到这一点，,我们只能采用圆弧C在,内的部分，,即图532中圆弧C的粗线部分，作为双圆弧的切点所在，这,就是说,(534),532 双圆弧半径公式,在图,531,的基础上，我们画出图,533,，图中，我们记,弦长,，P为双圆弧的连接点，,和,分别是双圆弧的两,个圆心两个半径则记成,，,并且有,，,图533,在,中，由正弦定理，,作,注意到,于是在直角,中求得,通过同样的方法，可以求得,这样一来，我们得到,(535),注意，半径公式中的,、,、,都是有向角，而弦长,L则总为正,所以,和,也带有符号符号的意义是：若,0，,表示第一个圆弧从,到 P取向顺时针；,反之则取向逆时针,也是,一样这为判断圆弧的走向带来了方便，而圆弧的走向则是数控,加工编程信息所需要的事实上(535)所计算的正是双圆弧的,相对曲率半径,533 选择连接点,在轨迹圆弧C上如何选定双圆弧的一个连接点，是我们要,研究的问题,当然，C上的任何一点都是双圆弧的连接点，但,当,时，不论,取何值，从(535)式看出,这表明双圆弧都合于同一段圆弧,，,今后我们将排除这种特殊情形,而假定,。

目前已经有四种选择方法为实际部门所采纳它们分别是，,选择连接点P，使得,(1),，即取,这是沪东造船厂的双圆弧样条程序中所作的选择(刘鼎元，,苏文荣1，1980),(2),，即取,英国造船业的 BRITSEIPS系统自1971年起采用这种方法,(Bolton，1975),(3),，即取,已被中国科学院计算中心以及国内一些航空部门所采纳,(孙家昶，郑会琳，1980),(4)轨迹。