关于杨氏模量测量的几种的讨论.docx

关于杨氏模量测量的几种方法的讨论帅成久物理与电子信息学院物理学专业2006级指导老师：刘自祥摘要:本文讨论了两种测量杨氏模量的方法——自由振动发和非平衡电桥法自由振动法根据振动理论，给出了悬臂梁自由振动的周期与材料杨氏模量的关系，并设计了一种测量杨氏模量的实验装置，改装置的测量精度比传统的静态拉伸法高了一个数量级；非平衡电桥法克服了静态拉伸法中占用空间大和误差大的缺点关键词：杨氏模量任何物体或材料在外力作用下都会发生形变在弹性限度内，材料的胁强与胁变（即相对形变）之比为一常数，叫弹性模量条形物体（如钢丝）沿纵向的弹性模量叫杨氏模量,它是表征材料性质的一个物理量，仅与材料的化学结构成分及其加工制造方法有关某种材料发生一定形变所需的力大，该材料的杨氏模量也就大，杨氏模量的大小标志了材料的刚性胡克定理指出，在弹性限度内,弹性体的应力和应变成正比，设有一根长为2,横截面积为S的钢丝，在外力作用下伸长了"，则FAI广^丁⑴设钢丝的直径为d,贝US=nd2/4,将此代入上式并整理后得出4FIE=耐⑵上式表明，对于长度直径和所加外力相同的情况下，杨氏模量E大的金属丝的伸长量山较小，而杨氏模量E小的伸长量山较大。

因而，杨氏模量表达了材料抵抗外力产生拉伸（或压缩）形变的能力根据⑴式测杨氏模量时，伸长量山比较小不易测准因此，在测定杨氏模量时，伸长量山的测量是整个实验的关键，在很多试验课本上大多是在静态拉伸实验中测量伸长量"由于金属丝的伸长量非常微小,常规的测量方法很难做到精确测定本文讨论另外几种测量杨氏模量的方法：1自由振动法测量杨氏模量1.1 实验原理任何弹性系统在作自由振动时,系统振动的固有频率与系统的内在属性直接相关,这些属性包括系统结构、系统材料、系统振动模态等,下面以梁的弯曲自由振动加以说明1.1.1 弯曲自由振动的运动微分方程研究均质细长等截面直梁的平面弯曲振动,由于是细长直梁,则梁的运动可用梁轴线上各点的位移表示梁的2、p、I、E均为常数，其中2为梁的长度，p为梁长度方位的线密度，/为梁横截面对弯曲中性轴的惯性矩，E为梁材料的杨氏模量梁的弯曲振动如图1所示，利用微分方法，将梁分为若干个微元，相邻微元之间的相互作用力如图2所示，即梁的弯矩M,剪力Q，而M、Q是x的函数,即M=M(x),Q=Q(x)，它们与梁轴线的弯曲挠曲线方程y=y(x)有直接关系:图1梁的弯曲振动图2梁微元的受力M=EId2ydx2(3)将(3)、得：d2y卩改=融=0—dx+Q)(5)d4ypd2ydx4+Eldt2=0(6)dMr(4)(4)两式代入梁作自由振动时微元沿y方位的运动微分方程:令里=Q2，则(6)式表示为:Pd4ydx41d2ya.2dt2=0(7)1.1.2 弯曲自由振动的固有频率与振型运用分离变量法，假定四阶偏微分方程(7)的解有如下形式y(x,t)=A(x)B(t)(8)将(8)式代入方程(7)，得:1d2Ba2d4A—•=—_•⑼Bdt2Adx4*(9)式左端、右端分别仅依赖于变量t与%,要使该式成立，该式的左右端应等于同一常数，设此常数为一⑺2,且令02=e/a，则有:d2B廿回=°(1°)d4Adt4-p4A=0(11)由方程(10)的形式可知：e即是方程(10)所反映的弯曲自由振动系统的固有角频由微分方程理论，方程(11)的通解可表示为:A(x)=qchBx+cjhRx+c3cos仔尤+c4sinflx(12)式(12)称为弯曲自由振动系统的振型函数，仔为振型函数的特征值，仔值决定固有角频率，c1、c2、c3、c4为与仔相对应的系数，各系数间的相对比值决定振型函数的函数图形状，即振型。

由系统的边界条件，可确定仔与A(x)对均质等截面细长直悬臂梁，A自由端边界条件可表述为：A由边界条件(13)、(14)得：其固定端边界条件可表示为:(0)=A^(0)=0(13)ff(l)=Aff(l)=0(14)C—Q、Sc3C=—c.24(15)(ch^l+cos仇)“+(shpi+sin阻込=012}(16)(sh^l—sin阻c、+(ch^l+cosPl)c2=0}若将C］、C2看做未知量，方程组(16)有非零解的条件的为:cosBlch^l=—1(17}用数值解法中的二分法解得式(17)的一阶特征根仪=1.875104,从而得:1.8751042I2将一阶特征根仔詁代入式(⑷，可得系数c2与C］及C3与C4的一阶比值:cshBI+sinBIg)「一ch0J+cos阳(19)对振型而言，若取C1=1,则系统的一阶固有振型函数可取为:A1(x)=chB\X—cos—shBJ—sinBJchBJ+cosBJ(shB\X—sin^1x)(20)类似地，可求出悬臂梁自由振动系统的二阶、三阶固有角频率32、33与固有振型函数码⑴、码⑴悬臂梁自由振动系统的前三阶固有振型示意图如图3所1.1.3 杨氏模量与振动周期的关系讨论图4均质等截面细长直悬臂梁在小阻尼下的衰减自由振动。

初始时施加力F,使自由端偏离平衡位置y°则梁的初始挠曲线为三次抛物线，撤去F,梁将作自由振动初始挠曲线接近一阶振型曲线，所以自由振动中主要为一阶固有振型,而一阶固有振型的衰减速度最慢,经过一段时间的衰减后,自由振动就很接近一阶固有振型,又因阻尼较小,则认为实际的振动角频率为一阶固有角频率若测出衰减自由振动后期的振动周期T,T即近似为悬臂梁的一阶固有周期Ti,—=1/人=2兀/叫，得悬臂梁材料的杨氏模量：4兀214pE=(21)1.8751044/^4'丿1.2实验装置的设计如图5,将一根均质细长圆截面直钢丝铅垂放置,上端用夹头紧固于台座上,下端设置一细光束光电门夹头钢丝光电门图5实验部分装置钢丝静止时，仔细调节钢丝与光电门，使钢丝恰好遮住光束经测试，钢丝振动的阻尼《0.1可不考虑阻尼对振动周期的影响在一个振动周期内，钢丝会遮断光束2次，光电门产生的脉冲信号接入TH—4型毫秒计，可将毫秒计设置为：对两个脉冲信号记录一次计数及时刻，则相邻计数的时刻之差即为钢丝的振动周期实测中，使钢丝初始时作近似于一阶振型的自由振动，控制毫秒计，记录振动后期的若干个记数及对应的时刻，选择其中连续的十个数据计算振动周期。

1.3 测量数据及处理结果1.3.1 钢丝实验常数选择合适的量具对钢丝进行多次测量，取平均值得钢丝的实验常数：悬臂长度2:0.1518(m)；线密度p：0.003209(kg/m)；直径d：0.721(mm)1.3.2 毫秒计记录在后期的振动中，所选择的连续10个计数i所对应的时刻-如表1所示表1毫秒计记录1123456789ti(s)0.51740.56250.60750.65260.69760.74270.78770.83270.87781.3.3钢丝振动周期F由表1中的数据得：丫9(t_t)/、T=——8」=0.045056(s)1.3.4钢丝杨氏模量E:由(21)式得:4n2X0.15184x0.003209E=—2.0207X1011(N/m2)VerLWnX0.0007214CC/ILCL厂'丿1.8751044XgX0.0450562641.4结论以自由振动法为基础，用悬臂梁为振动体的实验装置所测钢丝的杨氏模量与钢的标准值2.0X1011N/m2相差很小，对同一根钢丝测量多次的结果相互间也很接近说明该实验装置具有较高的准确性该装置的测量原理可靠，仪器设备简单，从影响测量结果的因素分析，如果将钢丝质量、振动时间的测量精度提高，可进一步提高实验装置的测量准确性。

2用非平衡法测铜丝的杨氏模量2.1实验原理用电学的方法测力学量如图5所示：R1为铜丝，R2、R3、R4为电阻箱，调图5节R2、R3、R4，使得R1=R3成立，形成了平衡电桥设E为电源电动势，内阻为0,人代表流经R2和心支路的电流，/2代表流经屿和尺4支路的电流，E1=市可(22)12E=(23)2R+R'丿34ER=E-务(24)1R+R'丿12ER=E-亠(25)2R+R}34由豈=R；，可得由(24)、(25)、RR2=4—(26)R+RR+RJ1234(26)三式可得：u1=U2(27)此电桥即为平衡电桥，电压表读数应为0我们给心施加一拉力F，心的长度增加山，横截面积减小AS，电阻改变山,而此时心、R3、R4的阻值并未改变，则R+ARR七—乍(28)24此电压表读数应是〃弄口〃2的电压差下面来研究电压差△〃与AR之间的关系：应用非平衡电桥法分析，此时U1=I1(R1+^R)(29)U2=邪2(30)_E广仪+甌+补31)E=(32)2心+叮丿34ER3E(R1+^R)2IER+^R+R1(1+兀+疋(1+璋)E(33)=盏’略去微小项養’得R4R可E(34)疋(1+肘1，因此1在选取铜丝和电阻时，令色的值接近R21\R4•可E(35)1下面讨论AR和山之间的关系：由电阻的决定式可知,pl=y(36)其中p为电阻率,S为导体的横截面,I为导体的长度。

设导体的体积为V,则V代入式(36)，得Ol2令(37)对式(37)两边微分，得2pM—(38)由式(35)式(37)，可以推导出△“和山间的关系，即AZ2RSAU二十(39)将式(39)代入(1)中，得FI=卫方(4°)2.2实验数据及结果选择合适的量具对铜丝进行多次测量，取平均值得铜丝的实验常数：铜丝横截面积的直径：d=0.231mm；铜丝有效长度：2=42.50cm；电阻率：p=1.55X106Q•cm；电动势：E=1.620V表2袪码质量：m(g)对应的电压表读数：〃(Vm0=0%=o.1m.=3001U=13.21m2=600〃2=26.8m3=900〃3=38.5m4=1200U=51.94m5=1500〃5=67.5m=18006U=79.06由以上数据可得杨氏模量：m=5.728X106•而0.425X9.8m4.19X108X17.354A"其中，A〃=q〃0,(i=1,234,5,6)代入数据，得E1=5.728X106X300X103(13.2—0.1)X106=1.312X1011N/m2；=5.728X106X600X103(2680.1)x106=1.287X1011N/m2；E3=5.728X106X900X103(38.50.1)X106=1.343X1011N/m2；E=5.728X106X1200X十03=1.330x1011N/m24(5190.1)x1061500x103取平均值，得E=1.310x1011W/m2E5=5728X106X(67.50.1)X106=1279X1011N/m2E。