线性代数行列式（完整版）课件.ppt

第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组行列式是线性代数的一个重要组成部分成部分. .它是研究矩阵、线性方程组、它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具特征多项式的重要工具. .本章介绍了本章介绍了n n阶行列式的定义、性质及计算方法，阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用最后给出了它的一个简单应用克克莱姆法则莱姆法则. .第第1 1章章 行列式行列式2n n阶行列式的定义阶行列式的定义行列式的性质行列式的性质行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开克莱姆法则克莱姆法则行列式的一个简单应用行列式的一个简单应用数学实验数学实验第第1.1节节 n阶行列式的定义阶行列式的定义3 本节从二、三阶行列式出发，给本节从二、三阶行列式出发，给出出n阶阶行列式的概念行列式的概念. .基本内容：基本内容：二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式排列及其逆序数排列及其逆序数n阶行列式定义阶行列式定义转置行列式转置行列式返回4即即 称其为称其为二阶行列式二阶行列式 .记号：记号：它表示数：它表示数：左上角到右下角表示左上角到右下角表示主对角线主对角线，例例设(1)当 为何值时，(2)当 为何值时解或右上角到左下角表示右上角到左下角表示次对角线次对角线，例3 求二阶行列式(2)三阶行列式三阶行列式7记号记号 即即 称为称为三阶行列式三阶行列式. 它表示数它表示数8 可以用可以用对角线法则对角线法则来记忆如下来记忆如下.9主对角线法主对角线法例例4 计算三阶行列式计算三阶行列式10解解:由主对角线法，有由主对角线法，有例5例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零例7的充分必要条件是什么？解或或练习练习：计算下列行列式解1.排列及其逆序数排列及其逆序数15(1)排列排列 由自然数由自然数1,2,n,组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in称为一个称为一个n级排列级排列.如：由如：由1,2,3可组成的三级排列有可组成的三级排列有3！=6个：个：123 132 213 231 312 321（总数为（总数为 n!个）个）注意注意:上述排列中只有第一个为自然顺序上述排列中只有第一个为自然顺序(小小大大),其其他则或多或少地破坏了自然顺序他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相元素大小与位置相反反)构成构成逆序逆序.1.2 n1.2 n阶行列式阶行列式(2)排列的逆序数排列的逆序数16定义：定义： 在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数，称为它的逆序数，记为记为N (i1i2in).=3 =2例例1 N (2413) N(312)(2)排列的逆序数排列的逆序数17定义：定义： 在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数，称为它的逆序数，记为记为N (i1i2in).n奇偶排列奇偶排列: 若排列若排列i1i2in的逆序数为的逆序数为奇（偶）数，奇（偶）数，称它为称它为奇（偶）排列奇（偶）排列.=3 =2例例1 N (2413) N(312)逆序数的计算方法逆序数的计算方法即例例2 N(n(n-1)321) N(135(2n-1)(2n)(2n-2) 42) =0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)证明：证明：19对换：对换： 对换在一个排列对换在一个排列i1isit in中，若其中某中，若其中某两数两数is和和it互换位置互换位置, 其余各数位置不变得到另一其余各数位置不变得到另一排列排列i1itis in,这种变换称为一个对换这种变换称为一个对换, 记为记为( is it).例例3定理定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。

任一排列经过一个对换后奇偶性改变20对换在相邻两数间发生对换在相邻两数间发生，即，即设排列设排列 jk (1) 经经j,k对换变成对换变成 kj (2) 此时，排列此时，排列(1)、(2)中中j,k与其他数与其他数是否构成逆序的情形未是否构成逆序的情形未发生变化；而发生变化；而j与与k两数两数构成逆序的情形有变化：构成逆序的情形有变化： 若若(1)中中jk构成逆序构成逆序,则则(2)中不构成逆序中不构成逆序(逆序数减少逆序数减少1) 若若(1)中中jk不构成逆序不构成逆序,则则(2)中构成逆序中构成逆序(逆序数增加逆序数增加1)一般情形一般情形设排列设排列 ji1isk (3) 经经j,k对换变成对换变成 k i1is j (4) 易知，易知，(4)可由可由(3)经一系列相邻对换得到：经一系列相邻对换得到： k经经s+1次相邻对换成为次相邻对换成为 kj i1is j经经s次相邻对换成为次相邻对换成为 ki1is j 即经即经2s+1次相邻对换后次相邻对换后(3) 成为成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. |定理定理1.21.222思考练习思考练习（排列的逆序数详解）（排列的逆序数详解）方法方法1 在排列在排列x1x2xn中，任取两数中，任取两数xs和和xt(st),则它们必在排列则它们必在排列x1x2xn或或xnxn-1x1中构成逆序，中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列又在排列x1x2xn中取两数的方法共有中取两数的方法共有 依题意，有依题意，有故排列故排列 x1x2xn 与与 xnxn-1x1 中逆序之和为中逆序之和为此即此即 方法方法223 n个数中比个数中比i大的数有大的数有n- - i个个(i=1,2,n),若在排列若在排列x1x2xn中对中对i构成的逆序为构成的逆序为li个个,则在则在xnxn-1x1中对中对i构构成的逆序为成的逆序为(n- - i)- -li,于是两排列中对于是两排列中对i构成的逆序之和构成的逆序之和为为li+(n-in-i)- -li= n- -i (i=1,2,n)此即此即 （二）（二）n阶行列式定义阶行列式定义24分析：分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为符号为“+” 123 231 312 （偶排列）（偶排列） “- -” 321 213 132 （奇排列）（奇排列）(iii)项数为项数为 3！=6n推广之推广之，有如下，有如下n 阶行列式定义阶行列式定义26定义：定义： 是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积个元素的乘积并冠以符号并冠以符号 的项的和的项的和. (i) 是是取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的n个元素的乘积；个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；决定每一项的符号；(iii) 表示对所有的表示对所有的 构成的构成的n！个排列求和个排列求和.例例1 证明证明下三角行列式下三角行列式27证：证： 由定义由定义和式中和式中,只有当只有当所以所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .例例2 计算计算29解解由行列式定义由行列式定义,和式中仅当和式中仅当注：例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：例例4应为何值应为何值，符号是什么？此时该项的此时该项的解此时或(1)若则取负号(2)若则取正号若若是五阶行列式是五阶行列式的一项，则的一项，则例例5用行列式定义计算解： 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明一般，可以证明34定理定理1.3: n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的项可以写为的项可以写为其中其中i1i2in和和j1 j2 jn都是都是n级排列级排列 .或或另一定义形式另一定义形式另一定义形式另一定义形式n推论推论:n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的值为的值为4.转置行列式转置行列式35n定义：定义：如果将行列式如果将行列式D的行换为同序数的列，得的行换为同序数的列，得到的新行列式称为到的新行列式称为D的的转置行列式转置行列式，记为，记为DT. .即若即若36 用定义计算用定义计算思考练习思考练习 （n阶行列式定义）阶行列式定义）答答案案1.3 行列式的性质行列式的性质37 对多对多“0 0”的或是阶数较低的或是阶数较低( (二、三阶二、三阶) )的的行列式利用定义计算较为容易行列式利用定义计算较为容易, , 但对一般但对一般的、高阶的（的、高阶的（n n 4 4）行列式而言）行列式而言, ,直接利用直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的定义计算很困难或几乎是不可能的 . . 因而因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算需要讨论行列式的性质，用以简化计算. .返回返回性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）38证：证：事实上事实上,若记若记 DT=Det(bij),则则解解例例1 计算行列式计算行列式性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(rirj)或列或列(cicj)，行列，行列式的值变号式的值变号 .39推论推论 若行列式若行列式D的两行（列）完全相同的两行（列）完全相同,则则D=0 .性质性质3推论推论 (1) D中行列式某一行（列）的所有元素的因中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符号的外面，子可以提到行列式符号的外面， (2) D的两行的两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则D=0.性质性质4 若行列式若行列式 某一行某一行(列列)的所有元素都是两个数的所有元素都是两个数的和的和,则此行列式等于两个行列式的和则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列这两个行列式的这一行式的这一行(列列)的元素分别为对应的两个加数之一，的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行其余各行(列列)的元素与原行列式相同的元素与原行列式相同 .即即40证证性质性质5 行列式行列式D的某一行的某一行(列列)的所有元素都乘以数的所有元素都乘以数 k加到另一行加到另一行(列列)的相应元素上的相应元素上,行列式的值不变行列式的值不变,即即412022/5/18例例2 计算行列式计算行列式43解解 解解44解解452022/5/182022/5/182022/5/18即2022/5/18阜阳师范学院数学与计算科学学院2022/5/182022/5/18阜阳师范学院数学与计算科学学院例例6 6 计算计算n n阶行列式阶行列式52解(2)解(3)解(1)解解(1) 53注意到行列式各行注意到行列式各行(列列)元素之和等于元素之和等于x+(n-1)a,有有返回解解(2)(2)54注意到行列式各行元素之和等于注意到行列式各行元素之和等于有有返回55解解 (3)(3)返回箭形行列式箭形行列式2022/5/18阜阳师范学院数学与计算科学学院2022/5/18阜阳师范学院数学与计算科学学院2022/5/18阜阳师范学院数学与计算科学学院2022/5/18阜阳师范学院数学与计算科学学院2022/5/18阜阳师范学院数学与计算科学学院例例9 证明证明61证证 证证62632.证明证明1.计算行列式计算行列式思考练习思考练习 （行列式的性质）行列式的性质）64思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案） 65=右边右边思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案） 第第1.3 节节 行列式按行（列）展开行列式按行（。