新高考2021届高三数学入学调研试题二.doc

新高考）2021届高三数学入学调研试题（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A．空集 B． C． D．2．已知复数满足，则（ ）A． B． C． D．3．已知向量，，且，则与的夹角为（ ）A． B． C． D．4．若的展开式中常数项为，则实数（ ）A． B． C． D．5．正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，则四面体外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．6．设命题，，则为（ ）A．， B．，C．， D．，7．已知为函数的图像上任意一点，过作直线，分别与圆相切于，两点，则原点到直线得距离的最大值为（ ）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数满足，为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”，如图是某市月日到日的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）A．这天的的中位数是 B．天中超过天空气质量为“优良”C．从月日到日，空气质量越来越好 D．这天的的平均值为10．如图，在正方体中，点段上运动，则下列判断中正确的是（ ）A．平面平面B．平面C．异面直线与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积不变11．设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则下列说法错误的是（ ）A． B．以为直径的圆的面积大于C．直线过抛物线的焦点 D．到直线的距离不大于12．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）A．函数图象的对称轴方程为B．函数的最大值为C．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙、丙、丁四名同学申报所不同的高校的自主招生，要求每名同学只能申报一所学校，每所学校必须有同学申报，甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校，则不同的申报方案有 种．14．已知角满足，则 ．15．已知椭圆的右焦点为，其关于直线的对称点在椭圆上，则离心率 ， ．16．已知球的体积为，则球的内接圆锥的体积的最大值为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在数列中，，，设，．（1）求证数列是等差数列，并求通项公式；（2）设，且数列的前项和为，若，求使恒成立的的取值范围．18．（12分）如图，在中，，，，，分别为，的中点．（1）若，求；（2）若，求的大小．19．（12分）如图，四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若截面与底面所成锐二面角为，求的长度．20．（12分）某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为，，…，）的学生给父母洗脚的百分比进行了调查统计，绘制得到下面的散点图．（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年纪代码为）给父母洗脚的百分比．附注：参考数据：，，．参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系．回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，．21．（12分）已知点是离心率为的椭圆（）上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值；（3）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？22．（12分）已知函数有两个极值点．（1）求的取值范围；（2）设，（）是的两个极值点，证明：．（新高考）2021届高三入学调研试卷数 学（二）答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】因为，所以，即，又，所以，因此．2．【答案】A【解析】∵，∴．3．【答案】A【解析】设与的夹角为，∵，∴，∴，∵，∴．4．【答案】C【解析】展开式的通项公式，故当时，为常数项，此时，故．5．【答案】B【解析】根据题意可知四面体的三条侧棱、，底面是等腰，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面，，，∴，∴的外接圆的半径为，由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为，外接球的表面积为．6．【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题．7．【答案】B【解析】设，则，∴以为直径的圆的方程为，即，又∵为圆与圆的公共弦，∴两圆作差可得直线的方程为，∴点到直线的距离，当且仅当，即或时取等号，∴原点到直线的距离的最大值为．8．【答案】A【解析】∵，∴的周期为，又∵为偶函数，∴，，∵，，∴，又在内单调递减，∴，∴．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】ABD【解析】这天的指数值的中位数是，故A不正确；这天中，空气质量为“优良”的有，，，，，共天，故B不正确；从日到日，空气质量越来越好，故C正确；这天的指数值的平均值约为，故D不正确．10．【答案】ABD【解析】A中，连接，根据正方体的性质，有面，平面，从而可以证明平面平面，正确；B中，连接，容易证明平面面，从而由线面平行的定义可得平面，正确；C中，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围是，错误；D中，，到面的距离不变，且三角形的面积不变，∴三棱锥的体积不变，正确．11．【答案】ABC【解析】当直线的斜率不存在时，设，，由斜率之积为，可得，即，∴的直线方程为；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得，此时设，，则，，∴，即，∴直线方程为，则直线过定点，则到直线的距离不大于．12．【答案】ABD【解析】根据函数的图象知，，，∴，，根据五点法画图知，当时，，∴，∴，∴，∴，令，，解得，，∴函数的对称轴方程为，，A正确；当，时，函数取得最大值，B正确；，假设函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行，则，解得，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程，则，∴，∴或，；∴方程的两个不同的解分别为，时，的最小值为，D正确．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】根据题意，必定有两个人报一所学校，有种可能：甲丁、丙丁、乙丁、乙丙，将这些分别看作一个整体，再排列组合，所以总共有．14．【答案】【解析】由题意得．15．【答案】，【解析】设，由题意可得，由①②可得，，代入③可得，即，可得，解得，所以，，，所以，所以是等腰直角三角形，所以．16．【答案】【解析】设球的半径为，则有，整理得，即，设该球的内接圆锥的底面圆的半径为，高为，则有，而该圆锥的体积，利用均值不等式可得当时，即时取得最大值，且最大值为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）由条件知，，所以，，所以，又，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，故数列的通项公式为．（2）由（1）知，，则，①，②由①②，得，∴，∵，∴恒成立，等价于对任意恒成立．∵，∴．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可知，，，所以，因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以，所以．19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取的中点，连接，，∵是的中点，∴且，∵底面为直角梯形，，，∴，，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，取平面的法向量，，，设平面的法向量为，则有，即，不妨设，则，，即，∴，解得，即．20．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，由于与的相关系数约为，说明与的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系．（2），因为，所以，所以回归方程为．将，代入回归方程可得，所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为．21．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，最大值为．【解析】（1）∵点是离心率为的椭圆（）上的一点，∴，解得，，，∴椭圆的方程为．（2）设，，直线、的斜率分别为、，设直线的方程为，联立，得，∴，解得，①，②，则，（*）将①、②式代入*式整理得，∴直线，的斜率之和为定值．（3），设为点到直线的距离，∴，∴，当且仅当时取等号，∵，∴当时，的面积最大，最大值为．22．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由，，得，函数有两个极值点等价于在上有两个变号零点，等价于在上有两个变号零点，令，则，所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以，当时，恒成立，在上单调递减，不可能有两个极值点，舍去；当时，，，，，而，由零点存在性定理得在和内分别存在一个变号零点，此时有两个极值点，综上，所求的取值范围为．（2）因为，（）是的两个极值点，所以，且，由（1）知，，，令，，则，由在恒成立，得时，，单调递减，又，所以时，，即，所以，所以，由（1）知，在单调递减，所以，即，所以，即，因为，所以，，所以，即．。