考研数学微分中值讲义(卓越资料).docx

卓越考研内部资料（绝密）卓而优 越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3） 则存在，使得几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线 条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等 结论说明曲线在点和点之间[不包括点和点]至少有一点，它的切线平行于轴二、拉格朗日中值定理 设函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； 则存在，使得 或写成 有时也写成 这里相当或都可以，可正可负几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间是连续曲线；条件（2）说明曲线是光滑曲线 结论说明曲线在之间至少有一点，它的切线与割线是平行的 推论1．若在内可导，且，则在内为常数 推论2．若，在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数三、柯西中值定理 设函数和满足： （1）在闭区间上皆连续； （2）在开区间内皆可导；且 则存在使得 几何意义：考虑曲线的参数方程 点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。

值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少四、泰勒定理（泰勒公式） 定理1．（皮亚诺余项的阶泰勒公式） 设在含的开区间内有阶导数，则有公式 其中 称为皮亚诺余项 对常用的初等函数如和（为实常数）的阶泰勒公式都要熟记 定理2（拉格朗日余项的阶泰勒公式） 设在包含的区间内有阶导数，则有公式 其中，（在与之间） 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式当时，也称为阶麦克劳林公式 如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论B典型例题一、用罗尔定理的有关方法1、证明：或方法：对或使用罗尔定理2、证明：方法：构造辅助函数，且，再用罗尔定理1)积分法(原函数法)通过观察得①将换成得②恒等变形，便于积分③积分，分离变量得(2)公式法：若欲证等式可变形为：，则应取辅助函数为(3) 经验法：条件中有定积分，则辅助函数为被积函数例1、设，证明多项式在内至少有一个零点。

例2、设在上连续，在内可导，且，， 试证：必存在，使例3、设在上连续，在内可导，且，证明：必存在使二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法1、用拉格朗日中值定理的有关方法例1．设，试证例2、设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得2、用柯西中值定理的有关方法例、设在上连续，在内可导，证明：必存在使。