结构力学静定结构位移计算.ppt

变形：结构形状的改变CCCC‘‘————线位移线位移 ——角位移（转角）角位移（转角）§1 概述位移：结构上某点位置的移动和截面转动线位移：线位移：C C‘‘C C‘‘‘‘————竖直位移竖直位移CCCC‘‘‘‘————水平位移水平位移 根据产生位移的原因，位移可分为：根据产生位移的原因，位移可分为： 刚体位移刚体位移 变形体位移变形体位移1. 1. 荷载作用荷载作用荷载作用荷载作用2. 2. 温度变化（材料胀缩）温度变化（材料胀缩）温度变化（材料胀缩）温度变化（材料胀缩）3. 3. 支座沉降与制造误差支座沉降与制造误差支座沉降与制造误差支座沉降与制造误差还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?静定多跨梁的支座静定多跨梁的支座A有一给定位移有一给定位移CA，， 杆杆AC绕绕B点转动，点转动，杆杆CD绕绕D点转动 刚体位移：刚体位移：有位移无应变有位移无应变刚体位移刚体位移ABCD简支梁在载荷q作用下，各点产生线位移；同时梁内弯矩M产生的曲率k（曲率半径 ）和应变e变形体位移：变形体位移：有位移有应变有位移有应变 变形体位移变形体位移 根据产生位移的原因，位移可分为：根据产生位移的原因，位移可分为： 刚体位移刚体位移 变形体位移变形体位移1. 1. 荷载作用荷载作用荷载作用荷载作用2. 2. 温度变化（材料胀缩）温度变化（材料胀缩）温度变化（材料胀缩）温度变化（材料胀缩）3. 3. 支座沉降与制造误差支座沉降与制造误差支座沉降与制造误差支座沉降与制造误差哪些是刚体位哪些是刚体位移？哪些是变移？哪些是变形体位移形体位移? 1. 验算结构的刚度。

2. 位移计算是超静定结构计算的基础3. 在结构的动力和稳定计算中也要用到结构的位移 4. 在结构的制作、架设、养护等过程中，也往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施为什么要为什么要计算位移计算位移?在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；跨度；高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移< 1/1000 高度最大层间位移高度最大层间位移< 1/800 层高基础设计规范规定：设计等级为甲级、乙级的建筑物，均应按地基变形设计基础设计规范规定：设计等级为甲级、乙级的建筑物，均应按地基变形设计1. 方法：方法：2. 基本假设：基本假设：（（（（1 1）几何方法）几何方法）几何方法）几何方法（（2）虚功法）虚功法功功=力力×位移位移位移位移=功功/力力（（3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)叠加原理适用叠加原理适用叠加原理适用叠加原理适用（（principle of superposition)(1) 线弹性线弹性 (Linear Elastic)(2) 小变形小变形 (Small Deformation)（一）功（一）功 (Work)1.1.功的含义：力沿着作用线移动一段距离功的含义：力沿着作用线移动一段距离变力做功y位移与静力荷载位移与静力荷载dyyPPy 1)1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力反向的集中力反向的集中力(Generalized force)对广义位移(Generalized displacement)做功（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)图（a）中P1所作的功为：图（b）中P2所作的功为：图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为：再作用P2，此时P2所作的功为：P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：虚功外力作用下的总功：虚位移△△11△△22P2△△11△△22△△12△△21实功第一个下标表示位移的地点和方向第一个下标表示位移的地点和方向第一个下标表示位移的地点和方向第一个下标表示位移的地点和方向第二个下标表示产生位移的原因第二个下标表示产生位移的原因第二个下标表示产生位移的原因第二个下标表示产生位移的原因实功和虚功的区别：实功和虚功的区别：（（1 1）实功是力在自身所引起的位移上所做的功；虚功是力在其它原因所）实功是力在自身所引起的位移上所做的功；虚功是力在其它原因所引起的位移上所做的功。

虚功并不是不做功，而是强调做功的力与产引起的位移上所做的功虚功并不是不做功，而是强调做功的力与产生位移的原因无关这一特点生位移的原因无关这一特点虚位移应满足的条件：虚位移应满足的条件：ØØ虚位移应当是微小的；虚位移应当是微小的；ØØ虚位移必须是变形可能的，即位移函数是连续的虚位移必须是变形可能的，即位移函数是连续的2）实功是变力做功，计算式中有系数1/2；虚功是常力做功，计算式中 没有系数1/2对上例）（3）实功恒为正，虚功可正可负注意：注意：注意：注意：（（1）属）属同一同一体系；体系；（（2）均为可能状态即位移）均为可能状态即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件；； 力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件 （（3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；；力状态力状态力状态力状态位移状态位移状态1 质点系的虚功原理质点系的虚功原理具有理想约束的质点系，在某一位具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：置处于平衡的必要和充分条件是：Σfi δri=0→→.对于任何对于任何可能可能的虚位移，作用于质的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。

点系的主动力所做虚功之和为零三）虚功原理2 刚体的虚功原理刚体的虚功原理3 变形体的虚功原理变形体的虚功原理（一）原理：P1P2P3△△x△△y 刚体在外力作用下处于平衡状刚体在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：态的充要条件是：对于任意给定的对于任意给定的虚位移，外力虚功之和为零虚位移，外力虚功之和为零一、刚体虚功原理一、刚体虚功原理P1P2P3△△x△△yT=0T=0，，既然虚位移是任意给定的既然虚位移是任意给定的 刚体在外力作用下处于平衡状刚体在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：态的充要条件是：对于任意给定的对于任意给定的虚位移，外力虚功之和为零虚位移，外力虚功之和为零（二）虚功原理的两种实用型式（二）虚功原理的两种实用型式1、虚位移原理特点：受力真实，位移虚设用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效YBYAXAΔΔΔ/2由虚功原理虚功方程 平衡方程平衡方程2、虚力原理特点：位移真实，受力状态虚设用途：用以求解真实位移状态中的待求位移ΔΔΔ/2二、静定结构由支座移动引起的位移计算二、静定结构由支座移动引起的位移计算（一）支座移动对静定结构的影响（一）支座移动对静定结构的影响刚体位移：刚体位移：有位移无应有位移无应变变变形体位移：变形体位移：有位移有应变有位移有应变求求K点的竖向位移点的竖向位移（二）基本公式（二）基本公式 虚设力的方法：虚设力的方法：虚设力的方法：虚设力的方法：1 1、虚设力、虚设力、虚设力、虚设力P P的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的方向一致；的方向一致；的方向一致；的方向一致；2 2、虚设力、虚设力、虚设力、虚设力P P的大小等于单位的大小等于单位的大小等于单位的大小等于单位1 1，并称这样的力为单位力。

并称这样的力为单位力并称这样的力为单位力并称这样的力为单位力实际位移状态实际位移状态虚设的力状态虚设的力状态R Ri i的正向与的正向与C Ci i的正向一致的正向一致虚功原理：T=0T=0它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，提出，故也称为故也称为Maxwell-Mohr Method单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)(Dummy-Unit Load Method)截面转角截面转角相对线位移相对线位移相对转角相对转角（三）计算步骤（三）计算步骤:ØØ求单位力作用下的支反力求单位力作用下的支反力求单位力作用下的支反力求单位力作用下的支反力ØØ利用公式求位移利用公式求位移利用公式求位移利用公式求位移ØØ根据拟求位移作单位力状态根据拟求位移作单位力状态根据拟求位移作单位力状态根据拟求位移作单位力状态ΔΔP=11/21/2ΔΔΔΔ=-=-=-=-（（（（-1/2*△-1/2*△-1/2*△-1/2*△））））= = = =△△△△/2/2例：图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷例：图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷a a，求Ｅ截面的竖向位，求Ｅ截面的竖向位移移D DEVEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角和Ｄ铰两侧截面的相对转角  。

1YBYCYBYC（（（（2 2）求单位力作用下的支反力）求单位力作用下的支反力）求单位力作用下的支反力）求单位力作用下的支反力（（（（3 3）利用公式求位移）利用公式求位移）利用公式求位移）利用公式求位移解：解：解：解：1 1、求Ｅ截面的竖向位移、求Ｅ截面的竖向位移、求Ｅ截面的竖向位移、求Ｅ截面的竖向位移（（（（1 1）根据拟求位移作单位力状态）根据拟求位移作单位力状态）根据拟求位移作单位力状态）根据拟求位移作单位力状态2 2、Ｄ铰两侧截面的相对转角、Ｄ铰两侧截面的相对转角、Ｄ铰两侧截面的相对转角、Ｄ铰两侧截面的相对转角 ()YAYA1、结构的两种状态：2、第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，称为外力虚功，记为T123、第一状态的内力在第二状态的变形上所作的虚功，称为内力虚功，记为W12M、、Q、、N一、基本概念一、基本概念第一状态（受力状态）第二状态（位移状态）相对转角相对轴向位移相对剪切位移dx（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的） 第二状态要求虚位移条件说明：（4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。

3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理二、变形体系的虚功原理二、变形体系的虚功原理变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：对于任意给定的虚位移，对于任意给定的虚位移，对于任意给定的虚位移，对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功外力虚功等于内力虚功外力虚功等于内力虚功外力虚功等于内力虚功即即即即 T T1212＝＝＝＝WW1212 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δδWe,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和δδWi变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明:1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=∫d dWe+ +∫d dWn =∫d dWe =δδWe2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=∫d dWi =δδWi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移故有故有δδWe= =δδWi成立。

成立 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δδWe,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和δδWi变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明:1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=∫d dWe+ +∫d dWn =∫d dWe =δδWe2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=∫d dWi =δδWi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移故有故有δδWe= =δδWi成立。

成立几个问题几个问题:1. 虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件因此原理仅是条件因此原理仅是必要性命题必要性命题2. 原理的证明表明原理的证明表明:原理适用于原理适用于任何任何 (线性和非线性线性和非线性)的的变形体变形体，适用于，适用于任何结构任何结构3. 原理可有两种应用：原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解δWi 的计算的计算:δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds微段外力微段外力: 微段变形可看成由如下几部分组成微段变形可看成由如下几部分组成:变形体虚功方程的展开式变形体虚功方程的展开式微段剪切微段剪切微段拉伸微段拉伸微段弯曲微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds1、虚位移原理、虚位移原理特点：受力真实，位移虚设。

特点：受力真实，位移虚设2、虚力原理、虚力原理特点：位移真实，受力状态虚设特点：位移真实，受力状态虚设用途：用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效用途：用途：用以求解真实位移状态中的待求位移用以求解真实位移状态中的待求位移变形体虚功原理的两种实用型式变形体虚功原理的两种实用型式R R求如图所示刚架求如图所示刚架B点的水平位移点的水平位移△△由虚功方程：T＝W 可知三、结构位移计算三、结构位移计算 的一般公式的一般公式实际位移状态实际位移状态虚设的力状态虚设的力状态 虚设力的方法：虚设力的方法：虚设力的方法：虚设力的方法：1 1、虚设力、虚设力、虚设力、虚设力P P的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的方向一致；的方向一致；的方向一致；的方向一致；2 2、虚设力、虚设力、虚设力、虚设力P P的大小等于单位的大小等于单位的大小等于单位的大小等于单位1 1，并称这样的力为单位力。

并称这样的力为单位力并称这样的力为单位力并称这样的力为单位力（1）刚体虚功位移计算公式是变形体位移计算公式的特例2）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关说明：（3）变形体位移计算公式是结构位移计算的一般公式一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；静定和超静定结构；1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3. 材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；4. 变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形；变形、剪切变形；5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移位移计算的一般公式位移计算的一般公式(General Formula of Displacements)位移计算一般公式：无支座位移：无支座位移：而：MP、QP、NP为实际荷载作用下的内力，M、Q、P为单位力作用下的内力MP、QP、NP为实际荷载作用下的内力，M、Q、P为单位力作用下的内力MP、QP、NP为实际荷载作用下的内力，M、Q、P为单位力作用下的内力位移计算的一般公式位移计算的一般公式(General Formula of Displacements)一、荷载作用下位移计算公式一、荷载作用下位移计算公式1.EI1.EI、、EAEA、、GAGA分别表示杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度。

分别表示杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度3.3.公式中的公式中的2 2套内力对于直杆适用，如是曲杆改为对于直杆适用，如是曲杆改为dsds6.6.等号右边各项的乘积代表虚设单位力引起的内力的各个分量在实际荷载引起等号右边各项的乘积代表虚设单位力引起的内力的各个分量在实际荷载引起的相应变形上所做的虚功的相应变形上所做的虚功7.7.适用范围：线弹性问题适用范围：线弹性问题8.8.三项的影响，右边三项分别表示弯曲变形、剪切变形、拉伸变形的影响三项的影响，右边三项分别表示弯曲变形、剪切变形、拉伸变形的影响轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲2.2.μμ截面形状系数如：对矩形截面截面形状系数如：对矩形截面μ = =6/5;6/5;圆形截面圆形截面μ =10/9=10/94.4.弯矩项乘积的正负号规定：使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正弯矩项乘积的正负号规定：使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正1.1.根据拟求位移做单位力状态根据拟求位移做单位力状态2.2.分别求两种状态的内力分别求两种状态的内力1 1）荷载作用下内力计算荷载作用下内力计算2 2）单位力作用下内力计算单位力作用下内力计算3.3.代入公式计算代入公式计算△△。

单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)(Dummy-Unit Load Method)二、荷载作用下位移计算步骤二、荷载作用下位移计算步骤（一）桁架的位移计算（一）桁架的位移计算桁架在荷载作用下各杆的内力只有轴力桁架在荷载作用下各杆的内力只有轴力对一根杆件而言，对一根杆件而言，N、、NP、、E、、A为常数，因此，上式可简化为：为常数，因此，上式可简化为：三、荷载作用下实用位移计算公式三、荷载作用下实用位移计算公式例：求如图所示桁架下弦中点D的竖向位移，P=20kN，E＝210kN/cm3， l=8m， A 上弦=2000mm2， A下弦=400mm2， A腹=200mm2解：1.根据拟求位移做单位力状态（图b）3.代入公式计算△ 不要不要“丢三落四丢三落四”！！ 不要不要“张冠李戴张冠李戴”！！（二）梁、刚架的位移计算（二）梁、刚架的位移计算 对于梁及刚架，对于梁及刚架，△△Q Q和和△△N N对对△△的影响很小的影响很小，，因此，上式可简化为：因此，上式可简化为：例例 ：求刚架：求刚架A A点的竖向位移。

点的竖向位移实际位移状态实际位移状态虚设的力状态虚设的力状态xx++qxxqlqlx荷载内力图荷载内力图xxlx11单位内力图单位内力图设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：取：取： ，， ，有，有E/G的取值范围是多少？的取值范围是多少？对受弯细长杆件对受弯细长杆件,通常略去通常略去Q, N的影响的影响讨论讨论与细长比有关！与细长比有关！与细长比有关！与细长比有关！（三）拱的位移计算（三）拱的位移计算对一般拱结构的位移计算不考虑剪切、轴向变形的影响，取：对一般拱结构的位移计算不考虑剪切、轴向变形的影响，取：对扁平拱、接近合理拱轴线的拱，应考虑轴向变形的影响：对扁平拱、接近合理拱轴线的拱，应考虑轴向变形的影响：（四）组合结构的位移计算（四）组合结构的位移计算组合结构受力特点：组合结构受力特点：1）一部分构件在荷载作用下受弯为主）一部分构件在荷载作用下受弯为主(梁式杆梁式杆)2）另一部分构件只受轴力）另一部分构件只受轴力(轴力杆轴力杆)位移计算公式：位移计算公式：EIEI梁和刚架：梁和刚架：（一）问题的提出（一）问题的提出一、概述一、概述图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年年提出的，他当时为莫斯科铁路提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的运输学院的学生学生。

（二）适用条件（二）适用条件1. 结构的每根构件均为直杆结构的每根构件均为直杆2. 各构件各构件EI分别为常数或分段为常数分别为常数或分段为常数（二）基本思想（二）基本思想3. 在各构件上在各构件上M、、MP图中至少有一个为直线或分段直线型图中至少有一个为直线或分段直线型将将M、、MP图形的几何参数相乘（图乘），得到位移图形的几何参数相乘（图乘），得到位移图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?二、图乘公式二、图乘公式图乘公式图乘公式图乘公式图乘公式EIO1.1.图乘法的适用条件图乘法的适用条件2.2.ωω、、y yc c必须分别取自两个图形必须分别取自两个图形c c必须取自直线图形，其位置与另一图形（取面积的图形）的形心对应必须取自直线图形，其位置与另一图形（取面积的图形）的形心对应4.4.符号规定：符号规定： ωω与与y yc c位于杆轴同侧时，该段乘积为正可简称为位于杆轴同侧时，该段乘积为正可简称为““同侧相乘为正同侧相乘为正””规定（规定M M图画受拉侧）图画受拉侧）公式说明公式说明1.1.根据拟求位移做单位力状态根据拟求位移做单位力状态2.2.内力计算内力计算。

1 1）荷载作用下内力图）荷载作用下内力图M MP P2 2）单位力作用下内力图）单位力作用下内力图3.3.图乘求位移图乘求位移三、图乘法计算位移的一般步骤三、图乘法计算位移的一般步骤验算验算验算验算ACBhhPhll/23l/8hlml/2四、常见四、常见M图的面积和形心位置图的面积和形心位置例例1：：求求B端的转角端的转角1.1.根据拟求位移做单位力状态根据拟求位移做单位力状态2.2.内力计算内力计算1 1）荷载作用下内力图）荷载作用下内力图M MP P2 2）单位力作用下内力图）单位力作用下内力图3.3.图乘求位移图乘求位移解解:( )( )若两个弯矩图都是直线图形，若两个弯矩图都是直线图形，若两个弯矩图都是直线图形，若两个弯矩图都是直线图形，则纵坐标则纵坐标则纵坐标则纵坐标y yc c可取任一图形可取任一图形可取任一图形可取任一图形例例2：求跨中：求跨中C点的竖向位移点的竖向位移1.1.根据拟求位移做单位力状态根据拟求位移做单位力状态2.2.内力计算内力计算1 1）荷载作用下内力图）荷载作用下内力图M MP P2 2）单位力作用下内力图）单位力作用下内力图3.3.图乘求位移。

图乘求位移解解:( )( )若若若若MMP P是曲线，是曲线，是曲线，是曲线，MM是折线，是折线，是折线，是折线，则应分段图乘则应分段图乘则应分段图乘则应分段图乘对吗？对吗？应分段！应分段！若图形较复杂，面积或形心不若图形较复杂，面积或形心不若图形较复杂，面积或形心不若图形较复杂，面积或形心不便确定，可分解为简单图形便确定，可分解为简单图形便确定，可分解为简单图形便确定，可分解为简单图形H1EI2EI1CABH2PP=11.1.根据拟求位移做单位力状态根据拟求位移做单位力状态2.2.内力计算内力计算1 1）荷载作用下内力图）荷载作用下内力图M MP P2 2）单位力作用下内力图）单位力作用下内力图3.3.图乘求位移图乘求位移解解:例例4：求：求C点的水平位移点的水平位移若各段若各段若各段若各段EIEI不同，不同，不同，不同，则分段图乘则分段图乘则分段图乘则分段图乘MPPH2MH2PH1H11.1.当两图均为直线时，当两图均为直线时，ycyc不受限2.2.若一图是曲线，另一图是折线，应分段图乘若一图是曲线，另一图是折线，应分段图乘3.3.若图形较复杂，形心不便确定，可将其分解为简单图形。

若图形较复杂，形心不便确定，可将其分解为简单图形EIEI不同，应分段图乘不同，应分段图乘5.5.虚设单位力虚设单位力求线位移求线位移——集中力集中力求角位移求角位移——集中力偶集中力偶求相对位移求相对位移——一对力一对力五、图乘规律五、图乘规律 练习、练习、 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、、D两点相对水平位移两点相对水平位移 lqhqMP解：解：练习练习 、、 图示梁图示梁EI 为常数，求中点为常数，求中点C的竖向位移的竖向位移l/2ql/2MP请问：请问：错在啥地方？错在啥地方？请问：请问：错在啥地方？错在啥地方？l/2ql/2MP解法一解法一l/2ql/2MP解法解法二二温度变化引起的静定结构位移计算温度变化不产生内力，材料只膨胀或收缩，不产生剪应变一、温度变化对静定结构的影响一、温度变化对静定结构的影响基本假设：基本假设：1）结构材料是温度线性材料，即满足：）结构材料是温度线性材料，即满足：t——温度改变量温度改变量αα————温度系数，温度每升高温度系数，温度每升高1 1摄氏度所引起的材料的线应变摄氏度所引起的材料的线应变2）若构件两侧温度不相同时，认为温度沿截面是线性变化的；）若构件两侧温度不相同时，认为温度沿截面是线性变化的；3）沿构件长度方向温度变化规律相同。

沿构件长度方向温度变化规律相同二、公式推导二、公式推导ds1形心轴处的温度改变量为：形心轴处的线位移为：ds段两端截面相对转动角度：基本假设3t0 图面积图面积图面积图面积 图面积图面积图面积图面积注意问题：正负号规定注意问题：正负号规定1.根据拟求位移作单位力状态根据拟求位移作单位力状态2.内力计算单位力作用下结构的弯矩图和轴力图内力计算单位力作用下结构的弯矩图和轴力图3.利用公式求位移注意正负号的判断）利用公式求位移注意正负号的判断）2.2.t t、、△t△t的计算的计算公式说明公式说明温度变形引起的形心轴处的伸缩性与轴力引起构件的伸缩性一致时取正号温度变形引起的形心轴处的伸缩性与轴力引起构件的伸缩性一致时取正号或温度以升高为正，轴力以拉为正或温度以升高为正，轴力以拉为正温度变形引起的伸长侧与弯矩引起构件的受拉侧一致时取正号温度变形引起的伸长侧与弯矩引起构件的受拉侧一致时取正号三、计算步骤三、计算步骤例：例： 求图示桁架温度改变引起的求图示桁架温度改变引起的AB杆转角杆转角.解：解：1.根据拟求位移作单位力状态根据拟求位移作单位力状态2.内力计算单位力作用下结构的轴力图内力计算。

单位力作用下结构的轴力图3.利用公式求位移注意正负号的判断）利用公式求位移注意正负号的判断）Ni例：试求下图，a所示刚架C点的水平位移 已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上 升10°C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，线膨胀系数为解： 1、根据拟求位移作单位力状态P=12、内力计算：作出相应的、内力计算：作出相应的 、、 图3、利用公式求位移注意正负号的判断）、利用公式求位移注意正负号的判断）1、加工制造误差：一般是指构件的真实长度与设计长度存在差值式中：l’为实际杆长，l为设计杆长2、装配误差主要有如下两种形式图中：η为轴线对位误差，φ为角度装配误差四、加工制造和装配误差的影响四、加工制造和装配误差的影响如何计算如何计算?3、由加工装配误差引起的静定结构位移计算公式正负号选取原则：——构件长度误差为 的杆件在单位力下的轴力；——轴线对位误差为 处的杆件在单位力下的剪力；——角度装配误差为 处，杆件在单位力下的截面弯矩；——构件长度误差为 的杆件在单位力下的轴力；——构件长度误差为 的杆件在单位力下的轴力；1） 为拉力且 >0时，或 为压力且 <0时第一项为正，否则为负；2）当 的错位方向与轴线错位方向一致时，第二项取正号，否则为负；3）杆端弯矩 与角度装配误差方向一致时，第三项取正号，否则为负。

例：图示简支刚架，AB杆较设计长度短2cm，AB杆与BC实际夹角较设计角度小，求结构装配后C点离开设计位置的水平距离单位力作用下：性弹性体系中，第性弹性体系中，第性弹性体系中，第性弹性体系中，第I I I I状态的外力在第状态的外力在第状态的外力在第状态的外力在第IIIIIIII状态位移状态位移状态位移状态位移上所做的外力虚功，恒等于第上所做的外力虚功，恒等于第上所做的外力虚功，恒等于第上所做的外力虚功，恒等于第IIIIIIII状态外力在第状态外力在第状态外力在第状态外力在第I I I I状态状态状态状态位移上所做的外力虚功位移上所做的外力虚功位移上所做的外力虚功位移上所做的外力虚功2第第 II 状态状态第第 I 状态状态第一个下标表示位移的地点和方向第一个下标表示位移的地点和方向第一个下标表示位移的地点和方向第一个下标表示位移的地点和方向第二个下标表示产生位移的原因第二个下标表示产生位移的原因第二个下标表示产生位移的原因第二个下标表示产生位移的原因21P2△△22△△12△△11△△21△△22P1△△11△△21先加广义力先加广义力P1，后加广义力，后加广义力P2先加广义力先加广义力P2，后加广义力，后加广义力P1。

由由功的互等定理功的互等定理方法一方法一P1P2方法二方法二功的互等定理功的互等定理虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理2第第 II 状态状态第第 I 状态状态M1 Q1 N1M2 Q2 N2功的互等定理功的互等定理说说 明明1 1、力和位移可以是任意的广义力和相应的广义位移力和位移可以是任意的广义力和相应的广义位移2 2、适用条件：（、适用条件：（1 1）线弹性结构；（）线弹性结构；（2 2）小变形3 3、功的互等定理是基本定理，其他互等定理可由它直接导出功的互等定理是基本定理，其他互等定理可由它直接导出2第第 II 状态状态第第 I 状态状态由单位力由单位力由单位力由单位力P P2 2=1=1引起，在单位力引起，在单位力引起，在单位力引起，在单位力P P1 1作用处沿作用处沿作用处沿作用处沿P P1 1方向的位移方向的位移方向的位移方向的位移δδδδ12 12 12 12 ，，，，恒等于由单位力恒等于由单位力恒等于由单位力恒等于由单位力P P1 1=1=1引起，在单位力引起，在单位力引起，在单位力引起，在单位力P P2 2作用处沿作用处沿作用处沿作用处沿P P2 2方向的位方向的位方向的位方向的位移移移移δδδδ21212121。

1=1位移互等定理位移互等定理1. 单位力是单位力是量纲唯一量纲唯一的量的量；；3. 互等不仅是指互等不仅是指数值相等数值相等，且，且量纲也相同量纲也相同第第 II 状态状态ACB第第 I 状态状态ACB跨中跨中说明说明2. 力可以不是同一类型，可以是力、力可以不是同一类型，可以是力、力偶力偶，位移为线位移和，位移为线位移和转角转角；；数值、量纲都相同吗？数值、量纲都相同吗？数值、量纲都相同吗？数值、量纲都相同吗？第第 II 状态状态ACB第第 I 状态状态ACB跨中跨中真实的力真实的力——角度（无量纲）角度（无量纲）单位力单位力1——δ21（θB）[δ δ1212（（θ θB B））]=[力]-1真实的力偶（力真实的力偶（力.长度长度)——线位移（长度）线位移（长度）单位力单位力1——δ12（fC）[δ12（fC）]=[力]-1数值量纲均相同数值量纲均相同由功的互等定理由功的互等定理 由于支座由于支座 1 1 发生单位广义位移引起的发生单位广义位移引起的 2 2 支座中的反力，恒等于支座支座中的反力，恒等于支座 2 2 发生单位广发生单位广义位移引起的义位移引起的 1 1 支座中的反力。

支座中的反力反力互等定理反力互等定理数值、量纲都相同吗数值、量纲都相同吗?反力互等定理对于反力互等定理对于静定结构成立吗静定结构成立吗?000=0问题：问题：如何建立方程，如何叙述定理？如何建立方程，如何叙述定理？单位广义力引起的结构中某支座的反力，等单位广义力引起的结构中某支座的反力，等于该支座发生单位广义位移时引起的单位广于该支座发生单位广义位移时引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反义力作用点沿其方向的位移，但符号相反问题：以简支梁跨中受竖问题：以简支梁跨中受竖向单位集中力为例，说明向单位集中力为例，说明反力位移互等定理反力位移互等定理1P = 12注意：注意： 与与 P 力方向相反力方向相反P1P2ΔΔ1ΔΔ2重 点难 点要 点还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移? 三铰拱的内力不但三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有与荷载及三个铰的位置有关，而且与拱轴线的形状关，而且与拱轴线的形状有关超静定拱超静定拱在竖向荷载作用在竖向荷载作用。