多元函数微分法的几何应用.ppt

第四节第四节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线复习复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面时，对应点为时，对应点为时，对应点为时，对应点为考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置——切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为割线割线 的方向向量为的方向向量为曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程割线割线 的方程为的方程为切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过法平面：过M0点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.曲线在曲线在M0处的切线方程处的切线方程切线方程及法平面方程切线方程及法平面方程例例1 求曲线求曲线 在点在点 的的解解求导求导方向向量的各分量方向向量的各分量故切线方程为故切线方程为法平面方程为法平面方程为1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：将将x作为参数作为参数 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 两方程可确定两个隐函数: yj(x), zy(x). 切向量为T (1, j(x), y(x)), 而j(x), y(x)要通过解方程组得到. 提示提示:切线方程及法平面方程。

切线方程及法平面方程例例2 求曲线求曲线 在点在点 的的解解 化曲线方程为参数方程化曲线方程为参数方程方向向量的各分量方向向量的各分量故切线方程为故切线方程为法平面方程为法平面方程为例例3. 求曲线在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解解 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点 M (1,–2, 1) 处的切向量例例4.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解: 由于对应的切向量为在, 故设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M0处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M0的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线把曲线的参数方程把曲线的参数方程代入曲面方程代入曲面方程两边求关于两边求关于 t 的导数，得的导数，得得得已知已知令令取取 得得则则切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M0处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.及法线方程。

及法线方程解解例例1 求球面求球面 在点（在点（1,2,3）处的切平面）处的切平面 法向量法向量切平面方程切平面方程法线方程法线方程特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为曲面在曲面在M0处的法线方程为处的法线方程为令令法向量法向量曲面在曲面在 处的切平面方程为处的切平面方程为或或解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解解令令法线方程为法线方程为例例3曲面在点曲面在点 处的法向量处的法向量例例4解解由题意可得由题意可得 求曲线在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.例例51. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量三、小结空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为2)特殊特殊将将x作为参数作为参数空间光滑曲面曲面  在点法线方程法线方程1) 隐式情况 .的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线空间光滑曲面法线方程法线方程2) 显式情况.法向量法向量曲面在曲面在 处的切平面方程为处的切平面方程为解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)思考题思考题2. 如果平面与椭球面相切,提示提示: 设切点为则(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点则通过此3. 设 f ( u ) 可微,可以证明原点坐标满足上述方程 .点的法向量切平面方程为思考题思考题3. 设 f ( u ) 可微,证明 曲面上任一点处的3. 设 f ( u ) 可微,证明 曲面上任一点处的3. 设 f ( u ) 可微,切平面都通过原点.证明 曲面上任一点处的3. 设 f ( u ) 可微,。